Темы научно-исследовательских задач

Темы научно-исследовательских задач

1. Таблицы и прямые.

1)Дана таблица 4×4. В каждом квадратике 1×1 отмечен центр. Сколько существует различных прямых, проходящих только через два центра? Та же задача для доски т×п.

2)Дана таблица 4×4. В каждом квадратике 1×1 отмечен центр. Какое наименьшее количество прямых общего положения требуется для того, чтобы покрыть (зачеркнуть) все центры. Та же задача для доски т×п.

2. Разрезания на прямоугольники различных фигур (не только прямоугольников)

1)Можно ли замостить доску 10×10 прямоугольниками 1×4?

2)Какое наибольшее количество полосок а) 1×5; б) 1×6; в) 1×7

3. Переливания

1)Имеются две банки: 5 л и 3 л. Как с помощью этих банок налить в десятилитровое ведро 4 л воды? (Воду можно переливать из одной емкости в другую, доливать из крана, из другой емкости, вообще выливать.

2)Рассмотреть задачу в общем виде: банки а литров и b литров, какое количество литров с можно получить с их помощью. Изучить различные алгоритмы и подходы.

4. Сравнение расстояний

1)  Четыре точки, лежащие на одной прямой, задают 6 различных отрезков. Докажите, что длина наибольшего из этих отрезков превышает длину наименьшего не менее чем в 3 раза.

2)  Обобщите задачи пункта 1 и на п точек (хотя бы для некоторых значений п).

5. Перекладывание камней.

По кругу стоят n коробочек, в одной из них белый и чёрный камни, прочие пусты. Игроки перекладывают по очереди камни: первый перекладывает белый камень по часовой стрелке через одну или через две коробочки, второй — чёрный камень против часовой стрелки также через одну или через две. Победит тот, кто положит свой камень в коробочку с камнем соперника. Кто одержит победу при правильной игре? Рассмотрите случаи:

а) n = 13;

б) n = 14;

в) n = 15;

г) n произвольно.

6. Суммы цифр последовательностей чисел

1) Можно ли разделить все натуральные числа от 1 до 100 (или от 1 до 1000) на два множества таким образом, чтобы сумма цифр всех чисел одного множества была равна сумме цифр всех чисел второго?

2)Тот же вопрос для натуральных чисел от 1 до 2014 (от 1 до 2015).

3) Для различных натуральных п будем рассматривать множество Nn = {1, 2, …, n} всех натуральных чисел от 1 до п. Попробуйте определить, для каких п все натуральные числа от 1 до п можно разбить на два множества таким образом, чтобы сумма цифр всех чисел одного множества была равна сумме цифр всех чисел второго?

7. Постройка домов

Правила: Имеется клетчатая доска и дома разных цветов, имеющие форму куба. Любой дом можно ставить только в клеточку. В клеточке помещается только один дом. Синий дом можно ставить в любой клеточке, красный дом можно построить только по соседству с синим, жёлтый – по соседству с синим и красным домами (одновременно), зелёный – по соседству с синим, красным и жёлтым домами. Два дома называются соседними, если они граничат по «стенкам». Дом можно поставить и в такую клеточку, в которой уже стоит другой дом, при этом предыдущий дом сносится.

Вопросы:

1. Какое max количество

А) красных Б) жёлтых С) зелёных

домов можно построить на доске .

8. Необычные разрезания.

Вася отметил 10 клеток в клетчатой таблице 10 × 10 клеток. Всегда ли Петя может вырезать из этой таблицы по линиям сетки 19 фигурок вида:

так, чтобы фигурки не содержали отмеченные клетки?

Обобщить эту задачу в разных направлениях.

9. Гараж

1) Гараж представляет собой квадрат 7 × 7 клеточек, в каждой из которых можно поставить машину. Одна из сторон угловой клетки удалена (это ворота). Машина ездит по дорожке шириной в клетку. Разместите как можно больше машин в гараже таким образом, чтобы любая могла выехать, когда другие стоят.

Та же задача, если:

2) другие размеры гаража;

3) в гараже несколько ворот.

10. Наперстки и монеты

1)  По кругу стоят 100 наперстков. Под одним из них спрятана монетка. За один ход разрешается перевернуть четыре наперстка и проверить, лежит ли под одним из них монетка. После этого их возвращают в исходное положение, а монетка перемещается под один из соседних с ней наперстков. За какое наименьшее число ходов наверняка удастся обнаружить монетку?

2)  Если монеток n?

3)  Если монетка перемещается под один из близ стоящих наперстков.