Программа-минимум по теории вероятностей (3 семестр)
1. Ветвящийся процесс с дискретным временем. Теорема о вероятности вырождения ветвящегося процесса с дискретным временем. Ветвящийся процесс с непрерывным временем. Теорема о вероятности вырождения ветвящегося процесса с непрерывным временем.
2. Стационарные последовательности.
Стационарные в широком смысле последовательности, их корреляционные функции, свойства корреляционных функций. Теорема Герглотца. Спектральная функция и спектральная плотность. Стохастические интегралы. Спектральное представление
стационарных последовательностей. Наилучший в среднем квадратическом линейный прогноз стационарных последовательностей: постановка задачи, теорема о прогнозе.
Фильтрация стационарных последовательностей: постановка задачи, теорема о фильтрации.
3. Основные понятия статистики.
Статистическая модель, стратегии, функции риска. Сравнение стратегий, минимаксные и байесовские стратегии.
4. Проверка статистических гипотез.
Постановка задачи, равномерно наиболее мощные и наиболее мощные критерии. Лемма Неймана-Пирсона. Распределения с монотонным отношением правдоподобия и равномерно наиболее мощные критерии. Байесовские стратегии в задачах классификации.
5. Оценивание параметров.
Постановка задачи. Эмпирическое распределение и эмпирическая функция распределения. Теорема Гливенко - Кантелли. Метод подстановки и метод максимального правдоподобия. Несмещенность и состоятельность. Достаточные статистики. Факторизационная теорема Неймана - Фишера. Эффективные оценки. Теорема Рао - Блекуэлла - Колмогорова. Неравенство Рао - Крамера.
P.S.1. Знать теорему или формулу - значит не просто точно воспроизвести ее, но и объяснить значение всех символов и терминов, которые вы используете.
P.S.2. Это программа - минимум! Больше двух «проколов» не прощается!
