Программа дисциплины Стохастический анализ

Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

30% recurring commission
Выплаты в USDT
Вывод каждую неделю
Комиссия до 5 лет за каждого referral

Министерство экономического развития и торговли

Российской Федерации

Государственный университет - Высшая школа экономики

Факультет экономики

Программа дисциплины

Стохастический анализ

для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра

Автор

Тема 1. Основания теории вероятностей

Тема 1.1. Измеримые пространства

Определение алгебры и сигма-алгебры. Борелевская сигма-алгегбра. Определение меры. Свойства вероятности. Теорема Каратеодори (план доказательтва). Мера Лебега. Монотонная сходимость вероятностей. Понятие «почти наверное».

Wilde, Measure, Integration and Probability, Ch. 1, 2

Тема 1.2. Случайные величины

Определение измеримой функции. Простейшие свойства измеримых функций: сумма, произведение, композиция измеримых функций. Сигма-алгебра, порожденная случайной величиной. Функция распределения. Существование случайной величины с заданной функцией распределения.

Wilde, Measure, Integration and Probability, Ch. 2,3

Тема 1.3. Интеграл Лебега как математическое ожидание

Последовательное определение интеграла (индикатор-простая функция-неотрицательная-действительная-комплексная). Теорема о монотонной сходимости. Лемма Фату. Теорема о доминируемой сходимости. Лемма Шефе.

Неравенство Йенсена. Полнота . Интерпретация ожидания как проекции.

Wilde, Measure, Integration and Probability, Ch. 4

Тема 1.4. Декартово произведение мер и связь с интегралом Римана.

Декартово произведение мер. Теорема Фубини (план доказательства). Функции плотности и совместные функции плотности. Переход от интеграла Лебега к интегралу Римана.

Wilde, Measure, Integration and Probability, Ch. 4,5

Тема 1.5. Независимость случайных величин

Независимость сигма-алгебр. Для независимых случайных величин ковариация равна нулю.

Леммы Бореля-Кантелли.

Wilde, Measure, Integration and Probability, Ch. 7

Тема 1.6. Виды сходимостей случайных величин

Поточечная, почти наверное, по вероятности, по распределению, в . Взаимосвязь сходимостей.

Wilde, Measure, Integration and Probability, Ch. 8,9

Тема 2. Мартингалы в дискретном времени.

Тема 2.1. Простейшие свойства случайного блуждания

Метод первого шага и метод разложения в сумму. Расчет вероятности разорения, ожидаемого числа посещений точки, ожидаемого времени разорения.

Wilde, Stochastic Calculus, Ch. 3.

Тема 2.2. Условное ожидание

Определение, простейшие свойства. Геометрическая интерпретация. Теорема Пифагора.

Теорема Радона-Никодима (план доказательства).

Wilde, Stochastic Calculus, Ch. 2.

Тема 2.3. Понятие мартингала

Адаптированность, предсказуемость случайного процесса. Определение мартингала, суб и супермартингалов. Простейшие свойства.

Wilde, Stochastic Calculus, Ch. 3.

Тема 2.4. Мартингальное преобразование

Мартингальное преобразование, момент остановки, остановленный мартингал. Теорема об ожидаемом значении мартингала на момент остановки.

Wilde, Stochastic Calculus, Ch. 3.

Тема 2.5. Сходимость мартингалов и мартингальные неравенства

Теорема о сходимости мартингалов почти наверное. Равномерная интегрируемость. Сходимость мартингалов в смысле . Неравенства Дуба (для и ).

Wilde, Stochastic Calculus, Ch. 3.

Тема 3. Интеграл Ито.

Тема 3.1. Броуновское движение

Характеристическая функция. Восстановление закона распределения по характеристической функции. Многомерное нормальное распределение. Определение броуновского движения. Простейшие свойства.

Wilde, Stochastic Calculus, Ch. 5.

Тема 3.2. Определение стохастического интеграла и его свойства

Пошаговое определение стохастического интеграла. Формула Ито для броуновского движения. Таблица умножения Ито. Введение в стохастические дифференциальные уравнения.

Wilde, Stochastic Calculus, Ch. 4, 6.

Тема 3.3. Модель Блэка-Шоулза

Вывод модели Блэка-Шоулза. Сравнительная статика модели. Расчет волатильности по дискретным данным. Сравнение выводов модели с эмпирическими фактами.

Wilde, Stochastic Calculus, Ch. 6.

Основная литература

1. Wilde, Measure, Integration and Probability. http://www. mth. kcl. ac. uk/~iwilde/notes/mip/index. html

2. Wilde, Stochastic Calculus. http://www. mth. kcl. ac. uk/~iwilde/notes/sa/index. html

Дополнительная литература

1. Jeffrey S. Rosenthal. (2007), A first look at rigorous probability, World Scientific Publishing Co

2. Brzezniak, Zastawniak, (2006), Basic Stochastic Processes, Spinger

3. Fima C. Klebaner, (2006), Introduction to stochastic calculus with applications, Imperial College Press

4. Michael Steele, (2001), Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer

5. David Williams, (1991), Probability with Martingales, Cambridge University Press

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Тематика заданий по различным формам текущего контроля:

Примерные вопросы для письменных работ (общим списком):

Может ли объединение сигма-алгебр не быть сигма-алгеброй?

Нахождение сигма-алгебры порожденной данной дискретной случайной величиной

Может ли функция распределения иметь более чем счетное число разрывов?

Докажите теорему о доминируемой сходимости исходя из леммы Фату

Приведите пример, где . Какое условие теоремы Фубини нарушено?

Верно ли, что из независимости случайных величин X и Y следует независимость и

Следует ли сходимость по мере из сходимости почти наверное?

Пусть две случайные величины одинаково распределены и независимы. Найдите условное ожидание первой, при условии что известна их сумма.

Объясните почему об условном ожидании можно думать как о проекции.

Приведите пример процесса, который одновременно является и субмартингалом и супермартингалом.

Верно ли, что остановленный мартингал остается мартингалом?

Сформулируйте неравенства Дуба

Верно ли, что сумма двух независимых броуновских движений является броуновским движением?

Верно ли, что интеграл Римана можно рассматривать как частный случай интеграла Ито?

Как цена опциона колл зависит от волатильности в модели Блэка-Шоулза?

Тематика письменных работ:

Домашнее задание – темы 1.1.-1.6.

Письменный зачет – темы 1.1.-3.3.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вопросы для оценки качества освоения дисциплины

Определение алгебры и сигма-алгебры. Определение меры. Свойства вероятности. Теорема Каратеодори (план доказательтва). Мера Лебега. Монотонная сходимость вероятностей. Понятие «почти наверное». Определение измеримой функции. Существование случайной величины с заданной функцией распределения. Последовательное определение интеграла. Теорема о монотонной сходимости. Лемма Фату. Теорема о доминируемой сходимости. Лемма Шефе. Неравенство Йенсена. Полнота

. Декартово произведение мер. Теорема Фубини (план доказательства). Переход от интеграла Лебега к интегралу Римана. Независимость сигма-алгебр. Леммы Бореля-Кантелли. Виды сходимостей случайных величин. Взаимосвязь между видами сходимостей. Простейшие свойства случайного блуждания Условное ожидание Теорема Радона-Никодима (план доказательства). Определение мартингала, суб и супермартингалов. Простейшие свойства. Мартингальное преобразование Момент остановки, остановленный мартингал. Теорема об ожидаемом значении мартингала на момент остановки. Сходимость мартингалов и мартингальные неравенства Броуновское движение. Определение, свойства. Определение стохастического интеграла и его свойства Модель Блэка-Шоулза

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Автор программы: _____________________________/ /

Проекты по теме:

Поиск

Вики

Архив

Бизнес

Наука

Право

Математика

Юриспруденция

Основные порталы (построено редакторами)

Домашний очаг

Дом • Дача • Садоводство • Дети • Активность ребенка • Игры • Красота • Женщины • (Беременность) • Семья • Хобби
Здоровье: • Анатомия • Болезни • Вредные привычки • Диагностика • Народная медицина • Первая помощь • Питание • Фармацевтика
История: СССР • История России • Российская Империя
Окружающий мир: Животный мир • Домашние животные • Насекомые • Растения • Природа • Катаклизмы • Космос • Климат • Стихийные бедствия

Справочная информация

Документы • Законы • Извещения • Утверждения документов • Договора • Запросы предложений • Технические задания • Планы развития • Документоведение • Аналитика • Мероприятия • Конкурсы • Итоги • Администрации городов • Приказы • Контракты • Выполнение работ • Протоколы рассмотрения заявок • Аукционы • Проекты • Протоколы • Бюджетные организации
Муниципалитеты • Районы • Образования • Программы
Отчеты: • по упоминаниям • Документная база • Ценные бумаги
Положения: • Финансовые документы
Постановления: • Рубрикатор по темам • Финансы • города Российской Федерации • регионы • по точным датам
Регламенты
Термины: • Научная терминология • Финансовая • Экономическая
Время: • Даты • 2015 год • 2016 год
Документы в финансовой сфере • в инвестиционной • Финансовые документы - программы

Техника

Авиация • Авто • Вычислительная техника • Оборудование • (Электрооборудование) • Радио • Технологии • (Аудио-видео) • (Компьютеры)

Общество

Безопасность • Гражданские права и свободы • Искусство • (Музыка) • Культура • (Этика) • Мировые имена • Политика • (Геополитика) • (Идеологические конфликты) • Власть • Заговоры и перевороты • Гражданская позиция • Миграция • Религии и верования • (Конфессии) • Христианство • Мифология • Развлечения • Масс Медиа • Спорт (Боевые искусства) • Транспорт • Туризм
Войны и конфликты: Армия • Военная техника • Звания и награды

Образование и наука

Наука: Контрольные работы • Научно-технический прогресс • Педагогика • Рабочие программы • Факультеты • Методические рекомендации • Школа • Профессиональное образование • Мотивация учащихся
Предметы: Биология • География • Геология • История • Литература • Литературные жанры • Литературные герои • Математика • Медицина • Музыка • Право • Жилищное право • Земельное право • Уголовное право • Кодексы • Психология (Логика) • Русский язык • Социология • Физика • Филология • Философия • Химия • Юриспруденция

Мир

Регионы: Азия • Америка • Африка • Европа • Прибалтика • Европейская политика • Океания • Города мира
Россия: • Москва • Кавказ
• Регионы России • Программы регионов • Экономика

Бизнес и финансы

Бизнес: • Банки • Богатство и благосостояние • Коррупция • (Преступность) • Маркетинг • Менеджмент • Инвестиции • Ценные бумаги: • Управление • Открытые акционерные общества • Проекты • Документы • Ценные бумаги - контроль • Ценные бумаги - оценки • Облигации • Долги • Валюта • Недвижимость • (Аренда) • Профессии • Работа • Торговля • Услуги • Финансы • Страхование • Бюджет • Финансовые услуги • Кредиты • Компании • Государственные предприятия • Экономика • Макроэкономика • Микроэкономика • Налоги • Аудит
Промышленность: • Металлургия • Нефть • Сельское хозяйство • Энергетика
Строительство • Архитектура • Интерьер • Полы и перекрытия • Процесс строительства • Строительные материалы • Теплоизоляция • Экстерьер • Организация и управление производством

№	Название темы	Всего часов по дисциплине	Аудиторные часы	Самостоятельная работа
лекции	семинары
Тема 1	Основания теории вероятностей
Тема 1.1	Измеримые пространства	14	4	4	6
Тема 1.2	Случайные величины	8	2	2	4
Тема 1.3	Интеграл Лебега как математическое ожидание	14	4	4	6
Тема 1.4	Декартово произведение мер и связь с интегралом Римана	8	2	2	4
Тема 1.5	Независимость случайных величин	8	2	2	4
Тема 1.6	Виды сходимостей случайных величин	14	4	4	6
Тема 2	Мартингалы в дискретном времени
Тема 2.1	Простейшие свойства случайного блуждания	10	2	2	6
Тема 2.2	Условное ожидание	14	4	4	6
Тема 2.3	Понятие мартингала	8	2	2	4
Тема 2.4	Мартингальное преобразование	8	2	2	4
Тема 2.5	Сходимость мартингалов и мартингальные неравенства	14	4	4	6
Тема 3	Интеграл Ито
Тема 3.1	Броуновское движение	14	4	4	6
Тема 3.2	Определение стохастического интеграла и его свойства	14	4	4	6
Тема 3.3	Модель Блэка-Шоулза		4	4	6
	Итого	162	44	44	74

Программа дисциплины Стохастический анализ

Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

Факультет экономики

Рекомендована секцией УМС Одобрена на заседании кафедры

Название темы

Аудиторные часы

Тема 1. Основания теории вероятностей

Тема 2. Мартингалы в дискретном времени.

Тема 3. Интеграл Ито.

Проекты по теме:

Домашний очаг

Справочная информация

Техника

Общество

Образование и наука

Мир

Бизнес и финансы