Образцы решения №4

Образцы решения №4

№ 1.(4) а) Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Сравнивая общий член данного ряда с общим членом сходящейся геометрической прогрессии , где q=1/3<1, замечаем, что при всех n. Следовательно, исследуемый ряд сходится по признаку

сравнения 1.

Б) Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Замечаем, что ==1/20. Необходимый признак сходимости не выполняется. Ряд расходится.

В) Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Сравнение с гармоническим рядом по признаку сравнения 1 здесь ничего не дает, так как , и никакого заключения о сходимости данного ряда сделать нельзя. Воспользуемся признаком сравнения 2 с тем же гармоническим рядом. Имеем: an=1/(n+lnn), bn=1/n, следовательно, ===10.

Получен конечный и отличный от нуля предел. Сравниваемые ряды ведут себя одинаково, и так как гармонический ряд расходится, то расходится и данный ряд.

Г) Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Так как ~~2/n2

(знак ~ означает эквивалентность последовательностей при ), то данный ряд ведет себя ( в смысле сходимости) так же, как ряд . Последний сходится как обобщенный гармонический с показателем р=2>1. следовательно, сходится и данный ряд.

Д) Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Применяем признак Даламбера. Здесь an=2n/n!, an+1=2n+1/(n+1)!,