О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры

Математический сборник т. 27(69), № 1, 1950

О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

и решение этой системы, определяемое условиями

Это решение зависит от параметров

Целью настоящей статьи является изучение функций и , когда все . При этом мы будем предполагать, что стремление к нулю может быть характеризовано некоторым пара­метром ( непрерывным или дискретным), так что все являются функциями и при Кроме того, мы будем предполагать, что

и существует предел отношения при . Без ограни­чения общности (за счет изменения правых частей) можно считать, что либо и вообще , либо .

Нашей целью является установление условий, при которых пре­делы

определяются как решение вырожденной системы

при

Эта задача была рассмотрена для случая одного параметра нами [1] и [2] . Изучение систем с несколькими параметрами весьма сходно с изучением систем с одним параметром, что и было отмечено нами в работе [1]. Однако, так как формулированная там теорема неверна*, то мы и даем здесь более подробное изложение случая нескольких параметров.

§ 1

В этом параграфе мы исследуем систему уравнений с несколькими равными параметрами

(I)

с условиями

Рассмотрим вырожденную систему

и предположим, что система функций

является корнем уравнений . Решение вырож­денной системы

зависит от выбранного корня . В дальнейшем мы будем предполагать, что все входящие в рассмотрение функции непрерывны и что функции имеют ограниченные частные производные по всем переменным.

Пусть корень уравнений определен в области D пространства . Будем говорить, что этот корень устойчив в области D1 (совпадающей с D или являющейся частью области D ), если найдется такое , что

отрицательно* для любой точки , для которой

и ,

при произвольном выборе точки из области D1 .

Лемма. Если, интегральная кривая системы (1) удовлетворяет условию

для некоторого, где - устойчивый корень системы , то это неравенство имеет место для , пока проекция кривой не выйдет из области устойчивости D1

Доказательство. Функция

обращается в нуль при и отрицательна для устойчивого корня, если . Производная

Положим

.

При этих условиях для

при ,

т. е. не может превзойти значения .

Аналогично доказывается теорема о том, что вблизи неустойчивого корня для достаточно малого функция возрастает, и, следо­вательно, для неустойчивого корня невозможно предельное равен­ство

.

Если параметрстоит только при одном уравнении, то критерий устойчивости совпадает с рассмотренным нами ранее [1], а именно, из

вытекает, что функция

имеет знак, противоположный знаку , т. е. что корень уравнения устойчив.

Обратимся к изучению тех начальных значений, при которых кривая будет приближаться к решению вырожденной системы, соответствующей данному устойчивому корню.

Рассмотрим систему уравнений

(II)

Значения

определяют особую точку нашей системы, так как в этой точке все . Функция

окрестности точки , соответствующей устойчивому корню, убывает с возрастанием для любого решения нашей системы. В самом деле,

,

а функция F, по предположению, отрицательна в окрестности устойчи­вого корня. Таким образом, всякое решение системы (II), соответ­ствующее начальной точке, находящейся вблизи точки , стремится к этой точке при .

Совокупность точек , для которых решения систе­мы (II) с начальными условиями стремятся при к значениям , будем называть областью влияния устой­чивого корня.

Таким образом, если некоторая точка принадлежит области влияния устойчивого корня то, каково бы ни было , найдется такое , что интегральная кривая для системы, полученной из системы (II) изменением правых частей меньше, чем на , будет находиться в -окрестности точки для значения .

Теорема. Если начальная точка принадлежит области влияния устойчивого корня системы (I), то интегральная кривая этой системы , соответ­ствующая начальной точке , стремится при к пределу , являющемуся решением вырожденной системы

причем это стремление равномерно в области .

Доказательство. Пусть задано некоторое . Рассмотрим сис­тему (II). Интегральная кривая при стремится к точке в силу того, что начальная точка принад­лежит области влияния устойчивого корня . Обозначим через значение параметра , при котором кривая находится в-окрестности точки .

Перепишем систему (I) в виде

Легко убедиться в существовании такого , что если , то приращение при изменении от 0 до будет как угодно мало, и при этом изменении функции как угодно мало отличаются от функций в силу непрерывности их по t и у; следовательно, за промежуток времени интегральная кривая войдет в -окрестность точки . Вы­берем, кроме того, настолько малым, чтобы точка от­стояла от точки меньше чем на . Таким образом, в мо­мент точка для любого находится в -окрестности точки . Если достаточно мало, то, в силу устойчивости корня , будет иметь место неравенство

для ,

т. е.

для ,

Отсюда следует, что функции удовлетворяют системе урав­нений

причем равномерно стремятся к нулю при в области, а при удовлетворяют условиям

при .

Параметр в этой системе входит в правую часть и в начальные условия. В силу известных теорем, мы можем утверждать, что функ­ции при стремятся к решению системы

Так как, кроме того,

то при стремится к функции

Очевидно, что это стремление равномерно в области . Таким образом, теорема доказана.

§ 2

Рассмотрим теперь систему уравнений с несколькими параметрами. Для простоты обозначений мы возьмем систему с двумя параметрами

(I)

с начальными условиями

Вырожденная система зависит от корней уравнений

Корень cистемы будем называть корнем первого порядка, а корень системы , в которой значения заменены на ,будем называть корнем второго порядка.

Введем обозначение:

При этих обозначениях вырожденная система может быть записана в виде

(I')

с начальными условиями

Нашей целью является установление условий, при которых решение

Корень первого порядка системы будем, как и раньше, называть устойчивым в области если существует такое , что

отрицательно при всех , для которых и

для любой точки из области .

Если при тех же условиях, то будем называть корень неустойчивым.

Аналогично определяется устойчивость корня второго порядка системы , в которой z заменено на - корень первого порядка.

Областью влияния корня первого порядка называется совокупность точек , для которых интегральные кривые системы

(II')

при стремятся к . Значения при этом считаются параметрами.

Областью влияния корня второго порядка называется совокупность точек , для которых интеграль­ные кривые системы

(II'')

при стремятся к .Значения при этом счи­таются параметрами.

Т е о р е м а. Если для системы (I) начальная точка принадлежит области влияния устойчивого корня первого порядка, и при этом точка принадлежит области влияния устойчивого корня второго порядка , то решение системы (I) при и стремится к , где - решение вырожденной ,системы (I’), причем это стремление равномерно в области .

До к а з а т е л ь с т в о. Доказательство этой теоремы мало отличается от доказательства соответствующей теоремы в случае одного пара­метра.

Рассмотрим систему (II’). Так как точка принадлежит области влияния устойчивого корня первого порядка , то, каково бы ни было , найдется такое , что для интегральная кривая системы (II’) будет находиться внутри -окрестно­сти точки .

Переписывая систему (I) в виде

,

видим, что если и достаточно малы, то за промежуток времени ( или ) функции изме­нятся в пределах наперед заданной точности. Отсюда следует, что функции в пределах заданной точности будут совпадать с решениями системы (II’), и, в частности, для значения эти функции определят точку, находящуюся в - окрестности точки , так что

Рассмотрим функцию

.

Производная этой функции

отрицательна при для достаточно малых , если мало, так

как первое слагаемое равно. Таким образом, при и при не может превзойти это значение. Отсюда следует, что

.

причем, каково бы ни было и, для достаточно малых и для .

При этом может быть выбрано так, что функции и отличаются от своих начальных значений в пределах заданной степени точности:

Таким образом, функции и удовлетворяют системе уравнений

с начальными условиями

,

причем параметрвходит в правую часть.

Рассмотрим систему уравнений

,

в которой - параметры. Так как точка принадле­жит области влияния устойчивого корня то найдется такое , что интегральная кривая системы (II’’) с начальными усло­виями для значения будет находиться в -окрестности точки :

.

Это же неравенство будет иметь место и для немного измененной системы

с измененными начальными условиями

,

если только и выбраны достаточно малыми. Иными словами,

для . При этом для отклонениеот своих начальных значений будет как угодно мало.

В силу устойчивости корня второго порядка , функция не может превзойти , если только достаточно мало. В самом деле,

Правая часть отрицательна, в силу устойчивости корня второго порядка, если и достаточно мало. Таким образом, и

при для всех .

Отсюда заключаем, что функции удоветворяют системе уравнений

С начальными условиями

,

где зависят от параметров и и как угодно малы, если и достаточно малы. Отсюда далее следует, что равномерно сходится к функциям в области , а также что

и

в области равномерно сходятся к функциям

и

,

что и требовалось доказать.

Случай большего числа параметров изучается совершенно аналогично, так как характер индукции вполне определен в приведенном доказательстве.

Если хотя бы один из корней первого или второго порядка неустойчив, то решение полной системы не может сходиться к решению вырожденной системы.

Литература

1.  . О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра, Мат. сб., 22(64), 1948, с.193-204.

2.  . О дифференцировании решений дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр, ДАН СССР, LXI, № 4, 1948, с. 597-599.

* На неточность формулировки названной теоремы мое внимание обратил

* Приводимый здесь критерий является, очевидно, достаточным и не охватывает всех случаев устойчивости