Некоторые свойства линейных электрических цепей

3.6. Некоторые свойства линейных электрических цепей

3.6.1. Принцип наложения

Ток в любой ветви сложной цепи с несколькими источниками можно рассматривать как сумму составляющих от действия каждого источника тока или напряжения в отдельности.

Докажем это положение, определив методом контурных токов ток в k-й ветви схемы рис. 3.24.

(3.9)

Здесь D – главный определитель системы независимых уравнений с контурными токами, – определитель, который получается из D заменой k-го столбца правыми частями этих уравнений. Если расписать по минорам этого столбца, то получится полином. Коэффициенты при ЭДС и задающих токах источников представлены нижеследующими обозначениями.

взаимная (передаточная) проводимость ветвей k и m, численно равная току в k-й ветви от действия источника напряжения с ЭДС в 1 В, включенного в m-ю ветвь, при отсутствии других источников, которые заменяются внутренними сопротивлениями. Иными словами, если то источник ЭДС следует заменить короткозамкнутым проводником; если то ветвь с источником тока нужно отключить.

входная проводимость схемы относительно зажимов, образующихся при размыкании k-й ветви и отсутствии источников. Эта величина появляется в формуле в том случае, если ЭДС находится в ветви k.

коэффициент передачи по току между ветвями k и s, численно равный току в k-й ветви от источника с задающим током в 1 А, включенного в ветвь s (опять же при отсутствии других источников).

3.6.1. Принцип взаимности

Ток в ветви cd от действия источника ЭДС , включенного в ветвь ab при отсутствии других источников, будет равен току в ветви ab, если в ветвь cd переместить ту же ЭДС

Вновь воспользуемся методом контурных токов для расчета обеих схем рис. 3.25. Выберем независимые контуры таким образом, чтобы контурный ток  оказался единственным, который замыкается в ветви ab, а – единственным, замыкающимся по ветви cd.

Тогда в верхней схеме рис. 3.25

а в нижней

Здесь D – главный определитель системы уравнений с контурными токами (он одинаков для обеих схем, так как составляется только из сопротивлений), его алгебраические дополнения.

Определитель D симметричен относительно главной диагонали, поскольку общие сопротивления контуров равны Поэтому и, следовательно, Теорема доказана.

3.6.3. Принцип (теорема) компенсации

Ток в любой ветви не изменится, если ее сопротивление заменить источником напряжения с ЭДС, равной напряжению на зажимах этого сопротивления и имеющей ту же полярность, или источником тока, чей задающий ток равен току в этой ветви и имеет то же направление.

Докажем это положение на примере схемы рис. 3.26,а.

Токи в ветвях схемы не изменятся, если последовательно с сопротивлением R включить два одинаковых источника ЭДС Е противоположной полярности (рис. 3.26,б).

Принимая потенциал точки b равным нулю, найдем и Если то и эти точки можно сначала соединить проводником (пунктир на рис. 3.26,б), затем совместить, а потом и отделить образовавшийся контур от остальной части цепи. При этом потенциалы узлов а и b сохраняют свои значения, следовательно, не меняются и токи в цепи. Но сопротивление R с током I теперь заменено источником ЭДС (рис. 3.26,в).

Токи в цепи рис. 3.26,а также не изменятся, если параллельно сопротивлению включить два одинаковых источника тока J противоположного направления (рис. 3.27,а).

По первому закону Кирхгофа ток При этот ток равен нулю, поэтому проводник с током  можно оборвать (рис. 3.27,б). После этого левая часть схемы выглядит так же, как исходная схема, но вместо сопротивления с током I оказывается источник тока того же направления.

Теорема доказана. Заметим на будущее, что она справедлива и для нелинейных цепей.

3.6.4. Теорема об эквивалентном генераторе

Любой активный двухполюсник можно заменить эквивалентным генератором, параметры схемы замещения которого определяются через параметры заменяемого двухполюсника.

Докажем эту теорему с помощью схем рис. 3.28 и покажем, как определяются вышеупомянутые параметры.

Ток I (рис. 3.28,а) не изменится, если последовательно в ветвь нагрузки двухполюсника включить две одинаковых ЭДС противоположной полярности (рис. 3.28,б). По принципу наложения причем первая составляющая учитывает все источники активного двухполюсника и ЭДС Е (рис. 3.28,в), направленную против тока, а вторая – лишь оставшуюся ЭДС Е (рис. 3.28,г). Если то в первой подсхеме реализован режим холостого хода двухполюсника и Во второй подсхеме где эквивалентное сопротивление пассивного двухполюсника относительно зажимов нагрузки (рис. 3.28,д). Пассивный двухполюсник получается из активного заменой источников ЭДС короткозамкнутыми ветвями и отключением ветвей с источниками тока.

Таким образом, во второй подсхеме по сравнению с исходной схемой активный двухполюсник заменен простой эквивалентной схемой. Теорема доказана и найдены параметры эквивалентного генератора напряжения:

(3.10а)

Используя известное преобразование, можно перейти к схеме эквивалентного генератора тока (рис. 3.28,е), в которой

(3.10б)

В последних простых схемах (рис. 3.28,д, е) легко находится ток:

3.6.5. Теорема о линейных соотношениях

В линейной цепи при изменении какого-либо одного из ее параметров (ЭДС, задающего тока или сопротивления) любые две величины (токи или напряжения) связаны линейным соотношением вида

Докажем теорему для случая изменения одной из ЭДС, например По принципу наложения можно записать

Здесь в и собраны составляющие токов и не зависящие от . Исключая из этих выражений, получим

Аналогичным образом доказывается теорема и при изменении задающего тока какого-либо источника. Для доказательства теоремы в случае изменения одного из сопротивлений, следует применить теорему компенсации.