Лабораторная работа

«Законы Кеплера и конфигурация звезд»

Цель работы: Изучение закономерностей в движении планет и вычисление их конфигураций.

Пособия: Астрономический календарь – постоянная часть или справочник любителя астрономии, Астрономический календарь – ежегодник ВАГО, таблицы логарифмов, калькулятор, подвижная карта звездного неба.

Краткие теоретические сведения:

Движение планет вокруг Солнца описывается законами Кеплера. Величина большой полуоси “а” орбиты планеты является средним расстоянием планеты от Солнца. Благодаря незначительным эксцентриситетам “е” и наклонениями “i” орбит больших планет, можно при решении задач полагать эти орбиты круговыми, имеющими радиус “а” и лежащими практически в одной плоскости – в плоскости эклиптики. Исключением является орбиты планет меркурия и Плутона, но и к ним часто применимо это допущение.

Угловая и линейная скорость планеты на орбите периодически изменяется в соответствии со II законом Кеплера, и их средние значения могут быть подсчитаны по среднему расстоянию “а” планеты от Солнца. В самом деле, средняя суточная угловая скорость планеты, называемая средним угловым движением планеты,

ώ = 3600 / Т (1)

где Т – звездный период обращения планеты вокруг Солнца, выраженный в средних сутках.

Очевидно, для Земли

ώ0 = 3600 / Т (2)

и тогда

ώ = ώ0 Т0 / Т (3)

причем в формуле (3) Т0 и Т могут быть выражены либо в сутках, либо в годах, но обязательно в единицах времени.

Подставляя в формулу (3) отношение Т0 / Т, найденное из третьего закона Кеплера, получим ώ в функции среднего расстояния “а” планеты от Солнца.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Сравнивая линейную скорость движения планеты по орбите

υа = 2πа / Т

со средней скоростью движения Земли

υ0 = 2πа0 / Т

используя третий закон Кеплера, найдем зависимость, υа от “а”.

формулы для ώ и υа значительно упрощаются, если “а” выразить в астрономических единицах (а. е.) и принять для Земли ώ0=10 и υа = 30 км/с.

Звездный Т и синодический S периоды обращения планеты связаны между собой управлением синодического движения, и проще всего вычислять эти периоды в годах, полагая для Земли ее звездный период обращения 1 (один год). В случае необходимости найденное значение S и Т всегда могут быть выражены в сутках. Точно так же третий закон Кеплера принимает наиболее простой вид при выражении Т в годах и “а” в а. е.

Взаимное расположение планет легко устанавливается по их гелиоцентрическим эклиптическим сферическим координатам, значения которых на различные дни года публикуются в астрономических календарях – ежегодниках, в таблице под названием “гелиоцентрические долготы планет”. Центром этой системы является центр Солнце (Рис.1), а основным кругом – эклиптика, полюсы которой П и П/ отстоят от нее на 900.

Рис.1

Большие круги, проведенные через полюсы эклиптики, называются кругами широты, и по ним отсчитывается по эклиптике гелиоцентрическая широта “в”, которая считается положительной в северном эклиптическом полушарии небесной сферы. Гелиоцентрическая долгота “ℓ” отсчитывается по эклиптике от точки весеннего равноденствия γ против часовой стрелки до основания круга широты светила и имеет значение в пределах от 01.01.01.

Из–за малого наклонения орбит больших планет к плоскости эклиптики (за исключением орбиты Плутона) эти планеты всегда находятся вблизи эклиптики, и в первом приближении можно считать их гелиоцентрическую широту “в” ≈ 00, определяя положение планеты относительно Солнца лишь одной ее гелиоцентрической долготой “ℓ”. В этом случае расположение планет относительно Солнца изображается на чертеже, плоскость которого принимается за плоскость эклиптики (Рис.2) и на котором одно из направлений принимается за направление на точку весеннего равноденствия γ. Рис.2

Если задан день года, в который гелиоцентрическая долгота Земли ℓ0 имеет определенное значение, то сначала следует отметить на чертеже расположение Земли, а затем уже наносить на него расположения планет либо по их известной гелиоцентрической долготе ℓ, либо по заданным конфигурациям. Гелиоцентрическая долгота Земли ℓ0 в определенные дни года может быть также найдена по геоцентрической долготе Солнца λ☼ в эти дни, так если построить подобную систему эклиптических координат с началом в центре Земли, то всегда

λ☼ = λ + 1

поскольку Солнце и Земля всегда находятся на противоположных концах одного радиус – вектора (Рис.3). Но геоцентрическая долгота λ планеты не связана подобной зависимостью со своей гелиоцентрической долготой 1, что легко усматривается из чертежа (см. рис.3) и равенство

ℓ = λ + 1

действительно лишь для определенных конфигураций планет.

Построив по гелиоцентрическим долготам положения планет относительно Солнца, можно измерить транспортиром их геоцентрические долготы λ и по разности

∆λ = λ – λ0 (6) Рис.3

определить условия их видимости с Земли, пологая, что в среднем планета становится видимой при удалении от Солнца на угол около 150. В действительности же условия видимости планет зависят не только от их удаления ∆λ от Солнца, но и от их склонения б и от географической широты места наблюдения, которая влияет на продолжительность сумерек и на высоту планет над горизонтом.

Так как положение Солнца на эклиптике хорошо известно для каждого дня, то по звездной карте и по значениям ∆λ легко указать созвездия, в котором находится планета в тот же день года. Решение этой задачи облегчается тем, что на нижнем обрезе карт Малого звездного атласа красными числами проставлены даты, в которые отмечены ими круги склонения кульминируют в среднюю полночь. Эти же даты показывают приблизительное положение Земли на своей орбите по наблюдениям с Солнца. Поэтому, определив по карте экваториальные координаты α0 и б0 точки эклиптики, кульминирующей в среднюю полночь заданной даты, легко найти для этой же даты экваториальные координаты Солнца

α☼ = α0 + 12ч и б☼ = - б0 (7)

и по ним показать его положение на эклиптике.

По гелиоцентрической долготе планет легко вычислить дни (даты) наступления их различных конфигураций. Пусть в некоторый день года t1, гелиоцентрическая долгота верхней планеты есть ℓ1, а гелиоцентрическая долгота Земли - ℓ01 (Рис.4). Верхняя планета движется медленнее Земли (ώ<ώ0), которая догоняет планету, и в какой–то день года t2 при гелиоцентрической долготе планеты ℓ2 и Земли ℓ02 наступит искомая конфигурация планеты.

Тогда

ℓ2 = ℓ1+ ώ(t2 – t1) = ℓ1 + ώ∆t (8)

и ℓ02 = ℓ01+ ώ0(t2 – t1) = ℓ01 + ώ0∆t (9)

откуда, обозначив ℓ2 - ℓ1 = ∆ℓ, ℓ02- ℓ01 = ∆ℓ0 и ώ0 - ώ = ∆ ώ, Рис.4

получим

∆t = ∆ℓ0 - ∆ℓ / ∆ ώ = L / ∆ ώ (10)

и найдем t2 = t1 + ∆t (11)

Легко видеть, что ∆ℓ0 - ∆ℓ = L представляет собой угловой путь Земли по орбите, проходимый Землей с относительно угловой скоростью ∆ ώ = ώ0 – ώ за промежуток времени ∆t. Поэтому для вычисления ∆t можно полагать планету неподвижной и, взяв разность L между разностями гелиоцентрической долготы Земли и планеты в момент времени t1 и t2 (или найдя по чертежу), сразу определить ∆t. Для вычисления же гелиоцентрической долготы планет 12 и Земли ℓ02 на дату t2 используется формула (8) и (9).

Очевидно, те же формулыслужат вычисления дней наступления конфигураций нижних планет с той лишь разницей, что из – за большой скорости движения нижней планеты по сравнению со скоростью Земли в формулы следует подставлять ∆ ώ = ώ – ώ0 и дугу L, которую проходит нижняя планета от одной конфигурации до другой при условии неподвижности Земли (Рис.5).

Все рассмотренные задачи следует решать приближенно, округляя значения “a” до 0.01 а. е., T и S – до 0.01 года и ∆t – до целых суток.

Пренебрегая незначительным наклонением орбит больших планет и пологая их находящимися на эклиптике, можно по величине углового удаления ∆λ планеты Рис.5

от Солнца и вычислить ее высоту в определенный момент времени (Рис.6).

Очевидно,

sin h = sin (∆λ + б)sin ǽ (12)

где б – угловое расстояние Солнца от истинного горизонта, отсчитываемое вдоль эклиптики, а ǽ - угол между эклиптикой и истинным горизонтом в тот же момент времени.

Рис.6

Практическая часть

1.  Вывести зависимость средней угловой и линейной скорости планеты от ее среднего расстояния от Солнца, выразив каждую скорость через соответствующую скорость Земли.

2.  Вычислить среднюю угловую и линейную скорость, а также сидерический и синодический периоды обращения планеты: 1) Меркурия; 2) Венеры; 3) Марса; 4) Юпитера; 5) Сатурна; 6) Урана; 7) Нептуна; 8) Плутона.

3.  Вычислить синодический период обращения малой планеты:Андромахи, а = 482,88 * 106 км;Фотографики, а = 331,89 * 106 км;Урании, а = 354,32 * 106 км;Глазенапии, а = 327,40 * 106 км;Полигимнии, а = 429,06 * 106 км;Эскулапии, а = 473,92 * 106 км;Психеи, а = 436,54 * 106 км;Галатеи, а = 415,61 * 106 км.

4. По синодическому периоду обращения, выраженному в годах, вычислить звездный период обращения и величину большой полуоси орбиты малой планеты:Владилены, S = 1,398;России, S = 1,324;Лидии, S = 1,284;Москвы, S = 1,328;Бредихины, S = 1,215;Пулковы, S = 1,218;Белопольский, S = 1,191;Крымеи, S = 1,276.

5. Указать дату, в которую Венера имеет в г. Тобольске высоту в кульминации равную 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40.