Рабочая программа учебной дисциплины Элементы теории чисел и криптографии

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Саратовский государственный университет имени »

Балашовский институт (филиал)

УТВЕРЖДАЮ

Директор БИ СГУ

доцент

___________________________

"__" __________________20__ г.

Рабочая программа учебной дисциплины

Элементы теории чисел и криптографии

Направление подготовки

010400 Прикладная математика и информатика

Квалификация (степень) выпускника

Бакалавр

Форма обучения

Очная

Балашов 2011

Содержание

1.	Цели освоения учебной дисциплины	3
2.	Место учебной дисциплины в структуре ООП бакалавриата	3
3.	Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины	3
4.	Структура и содержание учебной дисциплины	6
5.	Образовательные технологии	7
6.	Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов	7
7.	Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины	15
8.	Материально-техническое обеспечение дисциплины	16

1. Цели освоения дисциплины

·  повысить уровень фундаментальной математической подготовки студентов с усилением её прикладной направленности;

·  сформировать базу для развития профессиональных и исследовательских умений студентов в области современной вычислительной теории чисел и её приложений к крип­тографическим задачам;

·  создать основу для изучения смежных математических и специальных дисциплин, в которых используются теоретико-числовые методы;

·  сформировать исследовательские умения общенаучного, специализированного математического и методологического характера, в том числе сформировать навыки владения современными методами анализа научной и научно-методической литературы для развития умений трансформирования научных результатов в профессиональную деятельность.

2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата

Дисциплина «Элементы теории чисел и криптографии» относится к вариативной части профессионального цикла (Б3.ДВ2.1), изучается в 6 семестре.

Для освоения дисциплины студенты используют знания, умения, навыки, способы деятельности и установки, полученные и сформированные в ходе изучения дисциплины «Алгебра и геометрия».

Освоение дисциплины является основой для последующего изучения дисциплины «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры», а также дисциплин по выбору студентов.

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Элементы теории чисел и криптографии»

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих общекультурных компетенций (ОК):

-  способностью работать в коллективе и использовать нормативные правовые документы в своей деятельности (ОК-13);

-  способностью использовать в научной и познавательной деятельности, а также в социальной сфере профессиональные навыки работы с информационными н компьютерными технологиями (ОК-14);

-  способностью работы с информацией из различных источников, включая сетевые ресурсы сели Интернет, для решения профессиональных и социальных задач (ОК-15);

-  способностью к интеллектуальному, культурному, нравственному, физическому и профессиональному саморазвитию, стремление к повышению своей квалификации и мастерства (ОК-16).

-  Выпускник должен обладать следующими профессиональными компетенциями (ПК):

-  научная и научно-исследовательская деятельность:

-  способностью понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат (ПК-3);

-  способностью в составе научно-исследовательского и производственного коллектива решать задачи профессиональной деятельности (ПК-4);

-  способностью критически переосмысливать накопленный опыт, изменять при необходимости вид и характер своей профессиональной деятельности (ПК-5);

-  проектная и производственно-технологическая деятельность:

-  способностью собирать, обрабатывать и интерпретировать данные современных научных исследований, необходимые для формирования выводов по соответствующим научным, профессиональным, социальным и этическим проблемам (ПК-7);

-  способностью применять навыки профессиональной деятельности, современные языки программирования и языки баз данных, операционные системы, электронные библиотеки и пакеты программ, сетевые технологии (ПК-10).

В результате изучения дисциплины студент должен

знать:

- историю развития арифметики и теории чисел;

- основополагающие факты элементарной теории чисел, лежащие в основе построения всей математики (основная теорема арифметики, бесконечность множества простых чисел и др.);

- современные приложения теории чисел;

уметь:

- решать основные типы теоретико-числовых задач (делимость целых чисел, арифметические функции, простые числа, сравнения, арифметические приложения теории сравнений);

- применять полученные знания при решении практических задач профессиональной деятельности;

владеть:

- навыками решения основных типов теоретико-числовых задач;

- основными теоретико-числовыми методами;

- базовыми приемами современных теоретико-числовых приложений.  

4. Структура и содержание дисциплины

«Элементы теория чисел и криптографии»

Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы, 108 часов. Из них: 54 часа аудиторной работы (30 часов лекций и 24 часов практических занятий), 54 часов самостоятельной работы, дисциплина изучается в 6 семестре, ее освоение заканчивается зачетом Сокращения: КР — контрольная работа.

№ п/п	Раздел дисциплины	Семестр	Неделя семестра	Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах)	Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра) Формы промежуточной аттестации (по семестрам)
				Л	ПЗ/ИФ	СРС
1	Теория делимости в кольце целых чисел	6	1-3	4	6	10	КР№1(8н)
2	Основы теории цепных дробей	6	4-6	4	8/2	10	КР№1(8н)
3	Теория сравнений	6	7-11	4	8/4	16	КР№2 (15н)
4	Теоретико-числовые методы в криптографии	6	12-16	4	12/4	18	КР№2 (15н) Коллоквиум(16н)
							Дифференцированный зачёт
	Итого			16	34/10	54	36

Содержание разделов дисциплины

Теория делимости в кольце целых чисел

Отношение делимости, его простейшие свойства. Теорема о делении с остатком и её приложения. Систематические числа. Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Основная теорема арифметики. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа. Наименьшее общее кратное. Алгоритм Евклида и его приложения. Распределение простых чисел. Понятие об асимптотическом законе распределения простых чисел.

Основы теории цепных дробей

Цепные дроби. Представление чисел цепными дробями. Подходящие дроби.

Квадратичные иррациональности. Использование цепных дробей при решении задач. Простейшие диофантовы уравнения. Использование цепных дробей при решении задач. Уравнение Пелля. Использование цепных дробей при решении задач. Представление числа в виде суммы квадратов. Разложение функций в цепные дроби.

Теория сравнений

Сравнения в кольце целых чисел. Свойства. Полная система вычетов. Аддитивная группа классов вычетов. Кольцо классов вычетов. Приведённая система вычетов. Мультипликативная группа классов вычетов, взаимно простых с модулем. Функция Эйлера. Теоремы Эйлера и Ферма. Сравнения первой степени с одной переменной. Решение сравнений с помощью теоремы Эйлера. Сравнения первой степени с одной переменной. Решение сравнений с помощью цепных дробей. Китайская теорема об остатках. Задача о безопасном хранении ключа. Сравнения произвольной степени по простому модулю. Квадратичные вычеты и невычеты. Символ Лежандра. Критерий Эйлера. Арифметические приложения теории сравнений: нахождение остатков при делении.

Теоретико-числовые методы в криптографии

Криптографическая система RSA. Вероятностные алгоритмы проверки чисел на простоту. Детерминированные алгоритмы проверки чисел на простоту. Арифметические алгоритмы факторизации целых чисел. Метод пробного деления. Арифметические алгоритмы факторизации целых чисел. Метод квадратов. Выбор параметров системы RSA.

5. Образовательные технологии

Специфика дисциплины и объем учебного материала предполагают как традиционную лекционную форму изложения материала, так и использование различных активных и интерактивных форм обучения. Удельный вес занятий, проводимых в интерактивных формах, должен составлять не менее 20% аудиторных занятий. В процессе чтения лекций рекомендуется использовать мультимедийное оборудование для иллюстрации понятий и фактов и проведения компьютерного эксперимента. Для контроля и сопровождения самостоятельной работы студентов рекомендуется использование виртуальной обучающей среды Moodle.

6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины

и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов

Для контроля текущей успеваемости и промежуточной аттестации используется рейтинговая и информационно-измерительная система оценки знаний.

Балльно-рейтинговая система является необходимым элементом реализации образовательного процесса по компетентностно-ориентированным образовательным программам на основе системы зачетных единиц, (European Credit Transfer System - ECTS).

Применение балльно-рейтинговой системы обеспечивает условия для систематической работы студентов в течение семестра, контроля качества результатов их учебной и вне учебной деятельности, направленной на освоение необходимых компетенций.

Балльно-рейтингова система направлена на повышение качества подготовки, обеспечение объективности оценивания учебных достижений студентов в рамках дисциплины.

6.1. Основные принципы балльно-рейтинговой системы,

относящиеся к рейтингу по дисциплине «Дискретная математика»

·  Критерии оценки учебных достижений обучающихся для определения рейтинга по дисциплине доводятся до сведения студентов в начале изучения курса.

·  Максимальный рейтинг по дисциплине составляет 100 баллов.

·  Итоговый интегральный рейтинг студента рассчитывается как сумма итоговых учебного и вне учебного рейтингов студента за весь период обучения.

6.2. Порядок определения рейтинга студента по дисциплине

Рейтинг студента по дисциплине является основой для выставления итоговой оценки по дисциплине в «буквенной» форме в соответствии с 15-уровневой шкалой оценок ECTS (таблица 1), а также в традиционной форме (четырехуровневая шкала). Итоговая оценка в двух формах проставляется в ведомость и зачетную книжку студента.

Рейтинг студента по дисциплине определяется как сумма баллов за работу в семестре (текущая аттестация) и баллов, полученных в результате итоговой аттестации (зачет/экзамен),

Текущая аттестация студента по дисциплине

·  Для проведения текущей аттестации по дисциплине предусматривается возможность оценивания в баллах различных видов учебной деятельности студента в семестре (контрольные работы, участие в семинарах, индивидуальные задания, собеседования и пр.).

·  Рейтинг студента по дисциплине за семестр рассчитывается как сумма баллов по всем видам его учебной деятельности.

·  Требования к текущей аттестации, формы контроля, минимальное и максимальное количество баллов по каждому виду деятельности, график освоения отдельных тем и разделов дисциплины и пр. формулируются в настоящей рабочей программе.

·  Количество выставляемых балов зависит от полноты и качества выполнения учебных заданий, своевременности сдачи работ.

·  Рейтинг студента по дисциплине за семестр рассчитывается как сумма баллов по всем видам его учебной деятельности.

·  Для организации текущей оценки учебной деятельности студента дисциплина разбита на отдельные модули.

·  Для получения допуска к зачету или экзамену студент обязан выполнить все предусмотренные в рабочей программе дисциплины виды работ в семестре и набрать количество баллов не ниже установленного минимально допустимого.

·  Общее количество баллов за виды учебной деятельности студента, предусмотренные основной программой освоения дисциплины, составляет не более 60, если по дисциплине предусмотрен экзамен и не более 80, если предусмотрен зачет.

·  За выполнение учебных заданий сверх предусмотренных основной программой освоения дисциплины (учебно-исследовательская работа, самостоятельное углубленное освоение отдельных тем, участие в предметных олимпиадах различного уровня (призовые места) и пр.) преподаватель может выставлять дополнительные баллы не более 20 или 40 в зависимости от формы итоговой аттестации по дисциплине.

·  Если с учетом работ, сверх предусмотренных основной программой освоения курса, студент набрал свыше 90 баллов, итоговая оценка по дисциплине может быть выставлена без проведения итоговой аттестации («автомат»). При этом в ведомость и зачетную книжку студента выставляется оценка «отлично», что соответствует группе уровней «А» шкалы ECTS.

Итоговая аттестация студента по дисциплине

·  Итоговая аттестация студента по дисциплине проводится в форме экзамена, по результатам которого определяется соответствующее количество баллов.

·  Порядок проведения итоговой аттестации описан в настоящей рабочей программе дисциплины.

·  Максимальное количество баллов, которое студент может получить на экзамене, равно 40.

·  В случае выставления итоговой оценки по дисциплине неудовлетворительно» с правом последующей пересдачи (FX) в результате такой пересдачи студент имеет право получить оценку не выше Е («удовлетворительно»).

·  Если по результатам работы в семестре студент не набрал минимально допустимого количества баллов, ему выставляется итоговая оценка по дисциплине «неудовлетворительно» (F) без права последующей пересдачи[1]. В этом случае студенту предлагается изучить дисциплину повторно на платной основе[2].

6.3. Мониторинг качества учебной деятельности студентов

·  Мониторинг качества учебной деятельности студентов служит инструментом контроля со стороны деканата и служб управления учебным процессом.

·  Мониторинг качества проводится в форме выставления преподавателями оценок в период промежуточной аттестации (≈седьмая неделя семестра), а также в форме независимого тестирования.

·  Оценки в период промежуточной аттестации выставляются студентам по трехбалльной системе: «не справляется» - 0 баллов, «освоено не в полном объеме» - 1 балл, «освоено в полном объеме» - 2 балла.

Таблица 1

Характеристика работы студента	Диапазон баллов рейтинга	Оценка ECTS	Традиционная (4-уровиевая) шкала оценки
«Отлично» - работа высокого качества, уровень выполнения отвечает всем требованиям, теоретическое содержание курса освоено полностью, без пробелов, необходимые практические навыки работы с освоенным материалом формированы, все предусмотренные программой обучения учебные задания выполнены, качество их выполнения оценено числом баллов, близким к максимальному	90-100	А+	отлично	Зачтено
А
А-
«Очень хорошо» - работа хорошая, уровень выполнения отвечает большинству требований, теоретическое содержание курса освоено полностью, без пробелов, необходимые практические навыки работы с освоенным материалом в основном сформированы, все предусмотренные программой обучения учебные задания выполнены, качество выполнения большинства из них оценено числом баллов, близким к максимальному	80-89	В+
В	хорошо
B-
«Хорошо» - уровень выполнения работы отвечает всем основным требованиям, теоретическое содержание курса освоено полностью, без пробелов, некоторые практические навыки работы с освоенным материалом сформированы недостаточно, все предусмотренные программой обучения учебные задания выполнены, качество выполнения ни одного из них не оценено минимальным числом балов, некоторые из выполненных заданий, возможно, содержат ошибки	70-79	C+
C
C-	удовлетворительно
«Удовлетворительно» - уровень выполнения работы отвечает большинству основных требований, теоретическое содержание курса освоено частично, но пробелы не носят существенного характера, необходимые практические навыки работы с освоенным материалом в основном сформированы, большинство предусмотренных программой обучения учебных заданий выполнено, некоторые виды заданий выполнены с ошибками	60-69	D+	удовлетворительно	Зачтено
D
D-
«Посредственно» - работа слабая, уровень выполнения не отвечает большинству требований, теоретическое содержание курса освоено частично, некоторые практические навыки работы не сформированы, многие предусмотренные программой обучения учебные задания не выполнены, либо качество выполнения некоторых из них оценено числом баллов, близким к минимальному	50-59	Е
«Неудовлетворительно» (с возможностью пересдачи) - теоретическое содержание курса освоено частично, необходимые практические навыки работы не сформированы, большинство предусмотренных программой обучения учебных заданий не выполнено, либо качество их выполнения оценено числом баллов, близким к минимальному; при дополнительной самостоятельной работе над материалом курса возможно повышение качества выполнения учебных заданий	25-49	FX	неудовлетворительно	Не зачтено
«Неудовлетворительно» (без возможности пересдачи) - теоретическое содержание курса не освоено, необходимые практические навыки работы не сформированы, все выполненные учебные задания содержат грубые ошибки, дополнительная самостоятельная работа над материалом курса не приведет к какому-либо значимому повышению качества выполнения учебных заданий	0-24	F

Студентам будут предложены две контрольные работы (8-я и 15-я недели семестра) стоимостью 30 баллов каждая. Кроме того, на 16-ю неделю семестра запланирован коллоквиум в устно-письменной форме. Максимальная оценка за коллоквиум – 40 баллов.

Дополнительные баллы начисляются за решение задач повышенной сложности (до 10 баллов за задачу, оценка за каждую задачу зависит от числа студентов, верно решивших ее).

За отказ отвечать у доски или если предложенная задача не была решена за разумное время, начисляется штраф 2 балла. Если задача была решена, но было потрачено большое время на ее решение, а так же фактически весь ход решения был подсказан либо преподавателем, либо другими студентами, то возможно начисление штрафа в 1 балл.

В конце семестра сумма баллов, полученных студентом округляется до ближайшего целого числа.

Оценки в период промежуточной аттестации выставляются, исходя из следующей таблицы:

0	0%-49%
1	50%-74%
2	75%-100%

Примечание: В таблице проценты вычисляются от максимального количества баллов, которое студент мог получить к окончанию периода промежуточной аттестации (без учета дополнительных баллов)

Форма итоговой аттестации – дифференцируемый зачёт.

СОДЕРЖАНИЕ КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ МАТЕРИАЛОВ

Контрольная работа № 1

Теория делимости в кольце целых чисел. Основы теории цепных дробей

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ

1.  Запишите данные систематические дроби в виде обыкновенных в той же системе счисления:

а) б)

2.  Найдите наибольший общий делитель чисел 4081, 4972, 3377.

3.  Представьте наибольший общий делитель чисел 646 и 976 в виде их линейной комбинации.

4.  Найдите наименьшее общее кратное чисел 1910 и 1540.

5.  Найдите каноническое разложение числа 125!.

6.  Разложите в цепную дробь и замените подходящей дробью с точностю до 0,001 число

7.  Найдите действительное число , которое обращается в цепную дробь

8.  Найдите все простые числа, для которых числа и одновременно являются простыми.

Контрольная работа № 2

Теория сравнений. Теоретико-числовые методы в криптографии

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ

1.  Решите с помощью теоремы Эйлера сравнение

2.  Решите с помощью цепных дробей сравнение

3.  Решите систему сравнений

4.  Найдите сравнение степени ниже 7, которому равносильно сравнение

5.  Вычислите символ Лежандра

7.  Проверьте результаты арифметических действий по модулю 9 и по модулю 11: а) 423727925=111275855; б)

8.  Для получения секретной информации используется криптосистема RSA. Выбрав два простых числа p=13 и q=19, Андрей формирует число и выбирает e=11, взаимно простым с числом Затем он объявляет пару открытым ключом и публикует в газете "Хопёрские семестры". Используя открытый ключ, передайте Андрею секретное сообщение m=5. Дешифруйте его с помощью секретного ключа.

Программа коллоквиума

«Теоретико-числовые методы в криптографии»

1.  Криптографическая система RSA.

2.  Арифметические алгоритмы проверки чисел на простоту. Тест Ферма.

3.  Арифметические алгоритмы проверки чисел на простоту. Тест Соловэя-Штрассена.

4.  Арифметические алгоритмы проверки чисел на простоту. Тест Рабина-Миллера.

5.  Арифметические алгоритмы проверки чисел на простоту. Генерация простого числа.

6.  Арифметические алгоритмы проверки чисел на простоту. Проверка чисел Мерсенна.

7.  Арифметические алгоритмы факторизации целых чисел. Метод пробного деления.

8.  Арифметические алгоритмы факторизации целых чисел. Метод квадратов.

9.  Выбор параметров системы RSA. Взаимосвязь между параметрами системы RSA.

10.  Выбор параметров системы RSA. Условия на выбор чисел p и q.

11.  Выбор параметров системы RSA. Выбор параметров e и d.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО КУРСУ

1.  Отношение делимости, его простейшие свойства.

2.  Теорема о делении с остатком и её приложения.

3.  Систематические числа. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

4.  Простые числа. Бесконечность множества простых чисел.

5.  Основная теорема арифметики.

6.  Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа.

7.  Наименьшее общее кратное.

8.  Алгоритм Евклида и его приложения.

9.  Распределение простых чисел. Понятие об асимптотическом законе распределениия простых чисел.

10. Цепные дроби. Представление чисел цепными дробями.

11. Подходящие дроби.

12. Квадратичные иррациональности.

13. Использование цепных дробей при решении задач. Простейшие диофантовы уравнения.

14. Использование цепных дробей при решении задач. Уравнение Пелля.

15. Использование цепных дробей при решении задач. Представление числа в виде суммы квадратов.

16. Разложение функций в цепные дроби.

17. Сравнения в кольце целых чисел. Свойства.

18. Полная система вычетов.

19. Аддитивная группа классов вычетов. Кольцо классов вычетов.

20. Приведённая система вычетов. Мультипликативная группа классов вычетов, взаимно простых с модулем.

21. Функция Эйлера. Теоремы Эйлера и Ферма.

22. Сравнения первой степени с одной переменной. Решение сравнений с помощью теоремы Эйлера.

23. Сравнения первой степени с одной переменной. Решение сравнений с помощью цепных дробей.

24. Китайская теорема об остатках. Задача о безопасном хранении ключа.

25. Сравнения произвольной степени по простому модулю.

26. Квадратичные вычеты и невычеты. Символ Лежандра. Критерий Эйлера.

27. Арифметические приложения теории сравнений: нахождение остатков при делении.

28. Криптографическая система RSA.

29. Вероятностные алгоритмы проверки чисел на простоту.

30. Детерминированные алгоритмы проверки чисел на простоту.

31. Арифметические алгоритмы факторизации целых чисел. Метод пробного деления.

32. Арифметические алгоритмы факторизации целых чисел. Метод квадратов.

33. Выбор параметров системы RSA.

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

а) основная литература:

1.  Сизый, С. В.   Лекции по теории чисел. Изд. 3. [Электронный ресурс] / – Электрон. дан. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 20с. – Режим доступа: http://library. sgu. ru/cgi-bin/irbis64r_91/cgiirbis_64.exe? C21COM=F&I21DBN=LINK&P21DBN=http://212.193.33.40/ibooks/978592210741.pdc. - Загл. с экрана.

2.  Виноградов, теории чисел [Текст] : учебник / . – СПб. : Лань, 2009. – 176 с.

б) дополнительная литература:

1.  Нестеренко, чисел [Текст]: учебник для студ. высш. учеб. заведений / . — М.: Издательский центр «Академия», 2008. — 272 с.

2.  Кочева, -практикум по алгебре и теории чисел. Ч. III. [Текст] : для студентов-заочников II курса фнз.-мат. фак. пед. ин-тов / . — М.: Просвещение, 1984. — 41 с.

3.  Алфутова, и теория чисел [Текст] : сборник задач для математических школ / , . —М.: МЦНМО, 2002.— 264 с.

4.  Коутинхо, С. Введение в теорию чисел. Алгоритм RSA [Текст] / С. Коутинхо. – М.: Постмаркет, 2001. – 328 с.

в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы

1. Программное обеспечение компьютеров: MS Office или Ореn Office;

2. Среда виртуального обучения Moodle;

3. Электронная среда создания, редактирования и проведения тестов CiberTest;

4. Источники из электронной библиотеки СГУ, БИ СГУ, электронных библиотечных систем Лань, ИНФРА-М, Biblioclub, Ibooks.

Интернет-ресурсы

1.  www. exponenta. ru

Образовательный математический сайт. Содержит материалы по работе с математическими пакетами Mathcad, MATLAB, Mathematical Maple и др., методические разработки, примеры решения задач, выполненные с использованием математических пакетов. Форум и консультации для студентов и школьников.

2.  www. math. ru/lib

Большая библиотека, содержащая как книги, так и серии брошюр, сборников. В библиотеке представлены не только книги по математике, но и по физике и истории науки.

3.  www. mccme. ru/free-books

Свободно распространяемые книги издательства МЦНМО.

4.  htth//window.edu.ru

Единое окно доступа к образовательным ресурсам сайта Министерства образования и науки РФ.

8. Материально-техническое обеспечение дисциплины

1. Стандартно оборудованные лекционные аудитории.

2. Компьютерные классы (аудитории №№ 24, 25).

Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и Примерной ООП ВПО по направлению «Прикладная математика и информатика» и профилю подготовки «Математика».

Автор: кандидат физико-математических наук

Программа одобрена на заседании кафедры математики

от ___________года, протокол № _________________.

Подписи:

Автор программы ____________________к. ф.н., доцент

Зав. кафедрой математики _____________ к. ф.-м. н., доцент

Декан факультета математики,

экономики и информатики ______________ к. пед. н., доцент

(факультет, где разрабатывалась программа)

Декан факультета математики,

экономики и информатики ______________ к. пед. н., доцент

(факультет, где реализуется программа)

[1] Приведено в соответствии со шкалой оценок ECTS. Не практикуется.

[2] Не практикуется.