Научный руководитель – В. М. ТРОЯНОВСКИЙ, д. т.н., профессор
Московский государственный институт электронной техники
ИНТЕРАКТИВНАЯ ПРОГРАММА МОДЕЛИРОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ
СИСТЕМЫ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ
Рассмотрена проблема исследования и наглядного представления нелинейных динамических систем, предложен и разработан программный инструментарий для интерактивного моделирования.
В основе анализа нелинейных систем, встречающихся в биологии и химии, физике и синергетике лежат, как правило, нелинейные дифференциальные уравнения и модели, точное аналитическое решение которых часто затруднено и не всегда наглядно. Одним из методов представления решений таких уравнений являются траектории движения в пространстве состояний [1].
При этом важное значение для исследования представляет поведение систем в окрестности особых точек, выделение аттракторов и их бассейнов, где движение системы является примерно однотипным. Самостоятельный интерес представляет возможность построения разграничительных линий между такими бассейнами.
На практике особые точки исследуемых систем часто бывают вырожденными. Это исключает возможность использования классического подхода и требует привлечения специальных алгоритмических методов.
Нами разработана программа моделирования и визуализации движения нелинейной системы с двумя параметрами, которая позволяет:
1. задать уравнения;
2. задать границы отображаемой области;
3. строить траектории в этой области из любой заданной точки, указанной в интерактивном режиме;
4. строить множество траекторий с заданным шагом.
Этого достаточно для визуализации траекторий в исследуемой области.
Дополнительные возможности предоставляет специально разработанный инструмент для поиска разграничительных линий даже без построения траекторий.
Используя интуицию исследователя, программа позволяет задавать стратегию и осуществлять поиск разграничительных линий между бассейнами однотипных траекторий.
Работоспособность алгоритма и программы проверена на примере решения задачи Колмогорова [2] с некоторыми параметрами. Удалось построить разграничительные линии, исходящие из особых точек или входящие в особые точки, в том числе и вырожденные (пример приведён на рисунке).
Программа реализована в среде Delphi, критичные по времени выполнения процедуры разработаны и откомпилированы с помощью свободного NASM. Интерфейс программы предоставляет удобные средства настройки и визуального отображения результатов.
Можно предположить, что подобный алгоритмический подход даст положительный результат и в более сложных случаях.
Список литературы
1. , Ильяшенко дифференциальные уравнения // М: ВИНИТИ, 1985, 149 с.
2. Леонов методы поиска периодических колебаний в динамических системах //Пленарные доклады международной мультиконференции «Теория и системы управления» Москва 26-30 января 2009 М: Институт проблем управления им. РАН, 2009, С.47-87.
