Кафедра физики и астрономии
СУНЦ УрГУ
Импульс. Закон сохранения импульса (часть третья).
11. С какой скоростью 
после горизонтального выстрела из винтовки стал двигаться стрелок, стоящий на весьма гладком льду? Масса стрелка с винтовкой и снаряжением составляет 
, а масса пули 
и её начальная скорость 
.
Решение:
Так как на систему "стрелок-пуля" в горизонтальном направлении внешние силы не действуют, применим к системе "стрелок-пуля" закон сохранения импульса:
, 
.
.
Ответ: , 
.
12. Тридцать три богатыря, бегущие по дороге с одинаковой скоростью, один за другим прыгают в тележку. Вначале тележка была неподвижна, после прыжка первого богатыря она приобрела скорость 
, после прыжка второго − скорость 
. Найдите скорость тележки, когда в ней окажутся все богатыри? При решении задачи всех богатырей считать одинаковыми, трением тележки о дорогу пренебречь.
Решение:
Пусть 
− масса богатыря, 
− масса тележки, − скорость богатыря. Условимся, что все богатыри и тележка движутся вдоль оси OX, т. е. проекции всех векторов импульсов будут положительными.
Вдоль оси OX на систему «богатырь-тележка» в процессе запрыгивания богатыря внешние силы не действуют. Запишем закон сохранения импульса для случая, когда первый богатырь запрыгивает в тележку
.
Для второго богатыря и тележки
, 
.
Для третьего богатыря и тележки
, 
.
Таким образом, скорость тележки после запрыгивания трёх богатырей
.
Продолжая рассуждения подобным образом, получаем, что после запрыгивания тридцать третьего богатыря скорость тележки
. (*)
Чтобы получить ответ, необходимо найти отношение масс 
и скорость богатырей . Для этого обратимся вновь к первым двум строчкам решения
Решим систему двух уравнений с двумя неизвестными, для этого подставим первое уравнение во второе и выразим
, 
, 
,
.
Подставим полученное выражение в первое уравнение системы и найдём скорость каждого богатыря
.
Подставим найденные значения в формулу (*)
,
.
.
Ответ: , 
.
13. Две одинаковые тележки, на которых находятся два одинаковых дворника, движутся по инерции с одинаковыми скоростями параллельно друг другу. В некоторый момент времени на тележки начинает падать снег равномерным потоком. Дворник, стоящий на одной из тележек, всё время сбрасывает снег вбок, а на второй тележке дворник спит. Какая из тележек быстрее пройдёт одно и то же расстояние?
Решение:
Рассмотрим тележку 1, с которой дворник сбрасывает снег. Так как вдоль горизонтальной оси на систему «тележка-дворник» никакие внешние силы не действуют, то можно записать закон сохранения импульса системы «тележка-дворник» в проекциях на направление движения тележки. Пусть за определённый промежуток времени на тележку массой выпала первая порция снега массой
,
где 
− начальная скорость каждой тележки.
Скорость тележки стала
.
Затем дворник сбросил этот снег перпендикулярно направлению движения, импульс тележки стал 
. Следом упала вторая порция снега
.
Скорость тележки стала
.
Дворник вновь сбросил эту порцию снега. Затем упала третья порция и т. д. Скорость тележки после 
порции снега
.
Теперь рассмотрим тележку 2, на которой дворник спит. Найдём скорость тележки после падения первой порции снега
, 
.
Скорость тележки 2 после падения второй порции снега
, 
.
Скорость тележки 2 после порции снега
.
Сравнивая выражения для конечных скоростей тележек легко убедиться, что 
, следовательно, быстрее будет двигаться тележка со спящим дворником, поэтому тележка 2 быстрее пройдёт заданное расстояние.
Ответ: тележка со спящим дворником.
14. Кубик, скользящий без трения по гладкому горизонтальному полу, ударяется одной из своих боковых граней о вертикальную стенку. Коэффициент трения кубика о стенку 
. До столкновения кубик двигался по направлению, которое составляет угол 
со стенкой. Под каким углом 
к стенке отскочит кубик?
Решение:
Разложим начальный импульс 
кубика на составляющие вдоль вертикальной стенки и перпендикулярно ей. Так как кубик соударяется упруго со стенкой, перпендикулярная составляющая скорости не меняется по модулю, а меняется по направлению. Это изменение происходит из-за действия силы реакции 
стенки. Закон изменения импульса в проекциях на ось OY
, 
.
где 
− время соударения кубика со стенкой.
Продольная составляющая импульса уменьшается из-за действия силы трения скольжения
, 
,
.
Так как составляющая вдоль оси OY не меняется, то
, 
.
В приведённых рассуждениях – модуль скорости кубика после столкновения со стенкой.
Теперь можно найти искомый угол,
,
где 
. Если знаменатель стремится к нулю, то 
стремится к бесконечности, угол при этом стремится к значению 
. Это означает, что кубик отскочит перпендикулярно стене. Это произойдёт при условии
, 
.
Ответ: 
.
15. Координата тела изменяется по закону 
, а импульс − по закону 
. Найдите массу тела и действующую на него силу.
Решение:
Сравним выражения и 
. Видно, что 
, 
. Составим зависимость 
:
.
Умножим обе части равенства на массу :
.
Так как 
, то
, 
, 
.
Проекция силы равна 
,
.
Ответ: , 
.
