Кафедра физики и астрономии
СУНЦ УрГУ
Импульс. Закон сохранения импульса (часть первая).
Понятие импульса рассматривается в средней школе недостаточно подробно, хотя закон сохранения этой величины имеет фундаментальное значение. Давайте на конкретных примерах разберёмся с этим странным (на первый взгляд), но очень полезным методом решения задач.
1. С какой скоростью 
должен лететь снаряд массы 
, чтобы при ударе о судно массы 
последнее получило скорость 
? Удар считать неупругим (снаряд застревает в корпусе судна).
Решение:
В течение времени удара внешние силы не успевают заметно изменить импульс системы "снаряд-судно", поэтому импульс этой системы сохраняется
.
В проекциях на ось OX (вдоль направления движения снаряда)
, 
.
Так как масса судна много больше массы снаряда 
, то приближённо
.
.
Ответ: , 
.
2. Начинающий ковбой, накинув лассо на бегущего быка, от рывка полетел вперёд со скоростью 
, а скорость быка уменьшилась с 
до 
. Какова масса 
быка, если масса ковбоя 
?
Решение:
Система "ковбой-бык" до рывка обладала импульсом
,
так как ковбой не двигался, то его импульс равен нулю.
Сразу после рывка импульс системы
.
Рывок происходит очень быстро и внешние силы не успевают изменить импульс системы
.
Направим ось OX вдоль направления движения быка и ковбоя, тогда закон сохранения импульса в проекциях на ось OX будет выглядеть так (проекции все положительны)
.
Найдём массу быка
.
.
Ответ: , 
.
3. Два тела массами 
и 
движутся со скоростями 
и 
соответственно. Угол между направлениями этих скоростей равен 
. Определите модуль импульса системы.
Решение:
Импульс системы равен сумме импульсов всех тел (следует иметь ввиду, что речь идёт о векторной сумме). Надо всего лишь нарисовать векторы, обозначающие импульсы каждого тела и сложить их. На рисунке импульс системы обозначен двойной стрелкой. Модуль импульса системы находится по теореме косинусов
.
Ответ: 
.
4. Ракета влетает в пылевое облако со скоростью 
относительно облака. Пылинки оказались липкими: они соударялись с ракетой неупруго. Чтобы скорость движения не изменялась, пришлось включить двигатель, развивающий силу тяги 
. Какая была бы нужна сила тяги для сохранения скорости, если бы: а) ракета влетела в то же облако со скоростью 
; б) влетела со скоростью в другое облако, где концентрация частиц (число частиц в единице объёма) в три раза больше?
Решение:
При налипании частиц масса ракеты возрастает, сила тяги нужна для изменения импульса ракеты с частицами
,
где 
− сила тяги двигателя, 
− время работы двигателя, 
− начальный импульс ракеты (до того, как ракета влетела в облако), 
− импульс ракеты через время (импульс ракеты вместе с налипшими частицами). В проекциях на направление движения
.
Начальный импульс ракеты
,
где − масса ракеты.
Конечный импульс ракеты
,
где 
− масса одной частицы, 
− количество налипших частиц.
, 
, 
.
Рассмотрим поперечное сечение ракеты (нос ракеты). При движении в облаке ракета за время пролетает объём
,
где 
− площадь поперечного сечения ракеты. В этом объёме содержится частиц
,
где 
− концентрация частиц (количество частиц в единице объёма).
Подставим найденные величины в формулу ,
.
Выразим силу тяги
.
а) Если скорость ракеты 
, то сила тяги
.
Силу тяги необходимо увеличить в четыре раза.
б) Если концентрация частиц 
, то сила тяги
.
Силу тяги необходимо увеличить в три раза.
Ответ: 
, 
.
5. Движение материальной точки массой 
описывается уравнением 
. Найдите: а) проекцию импульса точки в начальный момент времени; б) зависимость проекции импульса точки от времени; в) проекцию импульса через 
от начала движения; г) проекцию импульса за 
до начала наблюдения; д) момент времени, в который проекция импульса равна нулю?
Решение:
Прежде всего проанализируем уравнение . Сравнивая его с уравнением 
, можно сделать вывод, что в начальный момент времени, то есть при 
, точка находилась в координате 
, начальная скорость точки 
, ускорение точки 
.
a) Проекция импульса в начальный момент времени будет равна
.
.
б) Запишем зависимость проекции скорости от времени
.
Зависимость проекции импульса от времени
,
.
в) Через время 
проекция импульса
.
г) Время до начала наблюдения означает, что 
.
д)
, 
.
Ответ: , 
; 
; 
; 
; 
.
6. Лёгкий теннисный мячик ударили ногой, и он полетел в направлении движения ноги. Скорость движения ноги при ударе 
. Какую скорость приобрёл мячик?
Решение:
В условии задачи сказано, что шарик лёгкий, т. е. масса шарика много меньше массы ноги, следовательно, ногу считаем массивным телом и её скорость не меняется при ударе о шарик. Сначала шарик покоился, а нога двигалась навстречу шарику со скоростью 
. Рассмотрим движение шарика в системе отсчёта, связанной с движущейся ногой. Относительно этой системы отсчёта начальная скорость шарика равна 
, а конечная скорость (после отскока) равна , т. к. удар считаем упругим. Скорость ноги относительно земли также , таким образом скорость шарика относительно земли 
, или по модулю
.
.
Ответ: , 
.
