Задачи по теме Высокочастотные асимптотики для уравнения Гельмгольца в неоднородной среде

Лекция от 30 ноября 2011 г.

Номер

Формулировка

коммент

1

Найти эйконал для двумерного уравнения Гельмгольца в неоднородной среде при .

Решение

смотри

ниже

2

Найти уравнения лучей для двумерного уравнения Гельмгольца в неоднородной среде при .

Решение

смотри

ниже

3

Найти эйконал для двумерного уравнения Гельмгольца в неоднородной среде

при .

4

Найти уравнения лучей для двумерного уравнения Гельмгольца в неоднородной среде

при .

5

Найти эйконал для двумерного уравнения Гельмгольца в однородной среде

при.

6

Найти уравнения лучей для двумерного уравнения Гельмгольца в однородной среде

при .

_____________________________________________________________________________

Задача 1: Найти эйконал для двумерного уравнения Гельмгольца в неоднородной среде при .

Указание: выписать уравнение Гамильтона-Якоби для функционала Ферма

,

и решить его методом разделения переменных.

Решение:

Введем новые обозначения: и вычислим преобразование Лежандра от функции по переменной :

Уравнение Гамильтона-Якоби имеет вид

где полученная выше функция Гамильтона, то есть

.

Таким образом, для функционала Ферма уравнение Гамильтона-Якоби является уравнением эйконала и имеет вид . Решаем полученное уравнение методом разделения переменных и ищем решение в виде: . Обозначая через постоянную разделения переменных, получаем

Возвращаясь к исходным переменным , имеем

__________________________________________________________________

Задача 2: Найти уравнения лучей для двумерного уравнения Гельмгольца в неоднородной среде

при .

Указание: Выписать уравнение эйконала. Применить к нему метод разделения переменных. Написать общее решение в квадратурах, зависящее от постоянной разделения переменных . Уравнения лучей (т. е. экстремалей функционала Ферма) можно найти на основании теоремы Якоби из соотношения , где – произвольная постоянная. В результате получится двухпараметрическое уравнение лучей.

Решение:

Уравнение эйконала в данном случае имеет вид:

.

После разделения переменных получим

где - постоянная разделения переменных. Уравнения лучей находим из соотношения , где – произвольная постоянная:

После интегрирования получим

Отсюда окончательно имеем двухпараметрическое семейство гипербол

Основы вариационного исчисления можно вспомнить, обратившись к:

, Курс высшей математики, том IV, часть первая, М: Наука, 1974

Там же содержатся некоторые вычисления с функционалом Ферма

Литература по теме Высокочастотные асимптотики для уравнения Гельмгольца в неоднородной среде:

, , Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. Метод эталонных задач, М: Наука, 1972