Лекция 7. Множественное страхование жизни

Лекция 7. Множественное страхование жизни

План лекции

1.  Введение

2.  Статус совместной жизни

3.  Упрощения

4.  Статус последней жизни

5.  Общий симметричный статус

6.  Формула Шютте-Несбита

7.  Асимметричные аннуитеты

8.  Асимметричные страховые контракты

9.  Глоссарий

1.  Введение

Рассмотрим человек с начальными возрастами . Для простоты мы обозначим время будущей жизни - го человека, в обозначениях лекции 1, через (). На основе этих элементов определим статус со временем будущей жизни . Соответственно обозначим через условную вероятность того, что статус по прежнему действителен в момент , если статус действителен в момент 0; символы , , и т. д., определяются аналогично. Будем рассматривать также аннуитеты, определенные в терминах . Символ , например, означает чистую одиночную премию для аннуитета пренумерандо с единичной суммой, выплачиваемой ежегодно, пока статус остается действительным. Мы будем также анализировать страховые контракты со страховыми выплатами при утрате статуса . Символ , например, означает чистую единичную премию для страхования выплаты единичной суммы, производимой в момент утраты статуса .

2. Статус совместной жизни

Статус

(2.1)

определен, т. е. действует, если все участвующих жизней живы. Время выбытия статуса совместной жизни есть

. (2.2)

В дальнейшем мы предполагаем, что случайные переменные независимы. Распределение вероятности времени окончания действия статуса (2.1) дается равенством

. (2.3)

Текущая скорость выбытия статуса совместной жизни, в соответствии с формулой (2.5) лекции 1, равна

. (2.4)

Это равенство перекликается с соотношением (2.2) лекции 6. Заметьте, однако, что в отличие от равенства из лекции 6, равенство (2.4) получено в предположении независимости .

Принципы лекций 2 и 3 могут быть теперь применены, например, к вычислению чистой одиночной премии для контракта страхования с выплатой при первой смерти

. (2.5)

Чистая одиночная премия аннуитета пренумерандо совместной жизни есть

. (2.6)

Тождества, аналогичные полученным в лекции 3 также справедливы, например,

. (2.7)

Определения и выкладки лекций 4 и 5 могут быть обобщены при замене на .

Если обозначить через статус, прекращающий действие через время , т. е.

, (2.8)

то ; очевидно из этого, что символы чистой одиночной премии (контракт дожития) и согласуются с обозначениями контрактов совместной жизни.

3. Упрощения

Значительное упрощение возможно, если все жизни удовлетворяют одному и тому же закону Гомпертца, т. е.

, , . (3.1)

Если решить уравнение

(3.2)

относительно , то текущая скорость выбытия совместного статуса может быть выражена в виде

, . (3.3)

Это означает, что скорость выбытия статуса совместной жизни следует тому же закону смертности Гомпертца, что и индивидуальная жизнь с "начальным возрастом" . Все вычисления в отношении статуса совместной жизни могут затем быть осуществлены в терминах одиночной жизни . Например, мы имеем

, (3.4)

и

. (3.5)

Некоторые упрощения также возможны, если все жизни следуют одному и тому же закону смертности Мэкхема,

. (3.6)

Если есть решение уравнения

, (3.7)

то из (2.4) следует, что

, . (3.8)

Это означает, что жизней с возрастами могут быть заменены жизнями с одним и тем же "начальным возрастом" . Например,

. (3.9)

Заметьте, что жизнь
, определенная в (3.7), есть что-то среднее от составляющих жизней , тогда как возраст жизни , определенной равенством (3.2), превышает все составляющие жизни .

Упрощения, представленные в этом разделе, хотя и элегантны, потеряли, в сущности, свое практическое значение. В наше время формулы типа (2.3), (2.5) или (2.6) могут быть вычислены непосредственно.

4. Статус последней жизни

Статус последней жизни

(4.1)

определен (действует), пока хотя бы одна из жизней жива, т. е. его выбытие соответствует последней смерти

. (4.2)

Статус совместной жизни и статус последней жизни можно сравнить с помощью аналогии в электрических цепях: статус (2.1) соответствует последовательному соединению компонент, а статус (4.1) соответствует параллельному соединению.

Вероятности и чистые одиночные премии относительно статуса последней жизни можно подсчитать с использованием статусов совместной жизни. Чтобы убедиться в этом, надо вспомнить формулу включения-исключения из теории вероятности. Если обозначают события, то вероятность их объединения равна

; (4.3)

где означает симметрическую сумму

, (4.4)

где суммирование осуществляется по всем подмножествам из .

Обозначая через событие, состоящее в том, что - ая жизнь по-прежнему жива в момент , получаем из (4.3)

, (4.5)

где обозначено

. (4.6)

Умножая уравнение (4.5) на и суммируя по , получаем формулу для чистой одиночной премии аннуитета последней жизни:

; (4.7)

здесь я обозначил

. (4.8)

Рассмотрим теперь контракт страхования выплаты суммы 1, выплачиваемой при последней смерти. Его чистая одиночная премия может быть вычислена так:

. (4.9)

обозначим симметрические суммы

. (4.10)

Подставляя

(4.11)

в (4.9), получим формулу

. (4.12)

Заметьте сходство формул (4.5), (4.7) и (4.12). Подобные формулы можно получить для чистой одиночной премии дробных или непрерывных аннуитетов, а также контрактов страхования с выплатами немедленно после последней смерти.

В качестве иллюстрации, рассмотрим случай трех жизней с начальными возрастами , и . В этом случае мы имеем, например,

, (4.13)

где

, , . (4.14)

Чистые одиночные премии , , , так же как, , можно подсчитать с использованием формул (2.3) и (2.6).

5. Общий симметричный статус

Определим статус

(5.1)

длящимся, пока по крайней мере из первоначальных жизней живы, т. е. прекращающимся при - ой смерти. Статус совместной жизни () и статус последней жизни () есть очевидные частные случаи этого статуса.

Статус

(5.2)

определен (действует), когда ровно из жизней живы. Этот статус начинает существовать при - ой смерти и заканчивается при - ой смерти. Статус (5.2) может быть интересен в контексте аннуитетов, но не для контрактов страхования.

Общее решение следует из формулы Шютте-Несбита, которая описывается в следующем разделе. Для произвольно выбранных коэффициентов справедлива формула

(5.3)

и, подобным образом,

. (5.4)

Здесь значения и определены равенством (4.6) для ; полагаем также и .

Для произвольно выбранных коэффициентов

(5.5)

и, подобным образом,

. (5.6)

Последние две формулы есть следствия предыдущих двух: взяв

, , (5.7)

можно левые части соотношений (5.5) и (5.6) привести к форме (5.3) и (5.4).

Выражения (5.5) и (5.6) имеют то преимущество, что их можно обобщить на контракты страхования

. (5.8)

Это уравнение получено из (5.6) тем же путем, как (4.12) было получено из (4.7).

Для иллюстрации рассмотрим непрерывный аннуитет, выплачиваемый 4 жизнями с начальными возрастами . Ставка платежа начинается с 8 и уменьшается на 50% с каждой смертью. Чистая одиночная премия этого аннуитета, очевидно, равна

; (5.9)

т. е. мы имеем коэффициенты . Таблица разностей такова

0	0	1	0	1	0
1	1	1	1	1
2	2	2	2
3	4	4
4	8

Чистая одиночная премия аннуитета поэтому равна , где

, . (5.10)

В качестве второго примера рассмотрим контракт страхования трех жизней (начальные возрасты ), для которых застрахованная сумма, равная 2 при первой смерти, 5 при второй и 10 при третьей, выплачивается в конце года смерти. Чистая одиночная премия этого контракта равна

. (5.11)

Начиная с , мы можем заполнить таблицу разностей

1	10	-5	2
2	5	-3
3	2

Чистая одиночная премия этого контракта есть поэтому , где

, , . (5.12)

6. Формула Шютте-Несбита

Пусть означают произвольные события. Пусть обозначает число произошедших событий; есть случайная величина, принимающая значения из . Для произвольно выбранных коэффициентов справедлива формула

, (6.1)

где определены равенством (4.4) и .

Чтобы доказать (6.1), используем оператор сдвига , определенный равенством

. (6.2)

Оператор сдвига и разностный оператор связаны соотношением . Поскольку есть индикаторная функция дополнения к , то легко видеть, что

. (6.3)

Взяв мат. ожидание, получаем операторное тождество

. (6.4)

Применяя этот оператор к последовательности при , получаем (6.1).

Формула Шютте-Несбита (6.1) представляет собой элегантное и полезное обобщение намного более старой формулы Варинга, который выражал и в терминах .

Уравнение (5.3) следует из (6.1), если принять за событие .

Наконец, рассмотрим приложение, которое лежит за пределами актуарной математики. Полагая в (6.1), мы получаем выражение порождающей функции для ,

. (6.5)

Рассмотрим в качестве иллюстрации следующую проблему соответствия. Предположим, что различных писем помещено в адресованных конвертов случайным образом. Пусть - событие, состоящее в том, что письмо помещено в правильный конверт, и пусть - число писем с правильным адресом. Из

(6.6)

следует, что . Порождающая функция для поэтому равна

. (6.7)

При эта функция стремится к , что является порождающей функцией распределения Пуассона с параметром 1. Таким образом, для больших значений распределение для может быть аппроксимировано распределением Пуассона с параметром 1.

7. Асимметричные аннуитеты

Как правило, составной статус менее симметричен. Например, статус

(7.1)

определен (действует), пока по крайней мере одна из жизней , и по крайней мере одна из жизней , живы. Время окончания действия статуса равно

. (7.2)

Для этого статуса чистая одиночная премия аннуитета может быть подсчитана в терминах чистых одиночных премий статусов совместной жизни. Это следует из соотношений

, (7.3)

соответственно

, (7.4)

которые справедливы для произвольных статусов и . Рассмотрим, например, аннуитет суммы 1 для статуса (7.1). Повторным применением (7.4) мы получаем выражение для чистой одиночной премии

. (7.5)

Реверсивные аннуитеты применимы при рассмотрении страхования вдов. Символ

означает чистую одиночную премию непрерывных платежей с интенсивностью 1, начинающихся в момент смерти и прекращающихся при смерти . Чистая одиночная премия может быть подсчитана с помощью соотношения

. (7.6)

8. Асимметричные страховые контракты

Рассмотрим жизней раздела 2, предполагая независимость их времен будущей жизни. Общий контракт страхования обеспечивает выплату по первой смерти в размере , если жизнь умирает первой в момент (т. е. статус совместной жизни прекращается по причине ). Такой контракт математически эквивалентен контракту, обсуждавшемуся в разделе 4 лекции 6. По аналогии с формулой (4.4) лекции 6, чистая одиночная премия этого контракта страхования первой смерти равна

. (8.1)

Реверсивный аннуитет, упомянутый в предыдущем разделе, является контрактом этого типа. Определяя

, , (8.2)

получаем

. (8.3)

Это выражение использует независимость между и , в отличие от формулы (7.6).

В частном случае, когда и при , чистая одиночная премия обозначается через

, (8.4)

и дается выражением

. (8.5)

Заметьте, что символы, введенные в лекции 2 для обозначения чистой одиночной премии чистого дожития и срочного страхования, являются частными случаями (8.4); это получается при интерпретации как статуса, заканчивающегося в момент .

Чистую одиночную премию (8.5) легко подсчитать, если все жизни удовлетворяют одному и тому же закону смертности Гомпертца, см. формулу (3.1). В этом случае

, (8.6)

где определено равенством (3.2); отсюда вытекает, что

. (8.7)

Рассмотрим теперь контракт страхования, по которому выплачивается сумма 1 в момент смерти , если эта смерть является - ой по счету. Его чистая одиночная премия обозначается через

. (8.8)

Чтобы выплата была сделана в момент смерти , точно из остальных должны быть живы. Поэтому мы имеем

. (8.9)

Подставляя в уравнение (5.3), мы получаем линейную комбинацию чистых одиночных премий вида (8.4), что упрощает вычисления. Рассмотрим, например,

. (8.10)

Используя теперь (5.3) с , , найдем

. (8.11)

Подстановка последнего выражения в (8.10) дает

. (8.12)

9.  Глоссарий

Время будущей жизни	Future lifetime
Множественное страхование жизни	Multiply life insurance
Статус совместной жизни	Joint-life status
Статус последней жизни	Last-survivor status
Общий симметричный статус	General symmetric status
Формула Шютте-Несбита	Schuette-Nesbitt formula
Асимметричный аннуитет	Asymmetric annuity
Асимметричный страховой контракт	Asymmetric insurance
Распределение вероятности	Probability distribution
Выбытие статуса	Status failure
Оператор сдвига	Shift operator
Разностный оператор	Difference operator
Варинг	Waring
Реверсивные аннуитеты	Reversionary annuities