Лекция 2а. Типовые задачи моделей в общем страховании

Лекция 2а. Типовые задачи моделей в общем страховании

План лекции

1.  Метод наименьших квадратов

2.  Метод максимального правдоподобия

3.  Модель индивидуального риска

4.  Перестрахование индивидуальных рисков

5.  Модель цикла страхования

6.  Свертки распределений

7.  Порождающая функция моментов

8.  Распределения с рекуррентными соотношениями

1. Метод наименьших квадратов

Имеется дискретная случайная переменная со множеством значений . Функция вероятности неизвестна, но известны наблюдаемые частоты реализации каждого из значений . Требуется выбрать функцию вероятности из семейства (т. е. выбрать значение параметра ) так, чтобы сумма квадратов отклонений

была минимальной.

Пример. Распределение Пуассона, для которого . Для применимости этого семейства распределений необходимо, чтобы значения были натуральными числами. Следует также учесть, что как бы хорошо ни был подобран параметр семейства, модельное распределение будет давать ненулевые вероятности не только для значений , но и для всех натуральных чисел. Таким образом, выбор семейства распределений Пуассона для решения этой задачи изначально содержит неустранимую ошибку (ошибку метода, методическую ошибку). Оставляя этот вопрос в стороне, найдем оптимальное распределение семейства, наиболее соотвествующее имеющимся данным. Квадратичное отклонение для него имеет вид

.

Найдем производную функции :

.

Нули производной и дадут оптимальное значение параметра . Обратите внимание, что это уравнение нелинейное и существование, а также единственность решения, вообще говоря, не гарантированы.

2. Метод максимального правдоподобия

Метод состоит в выборе того распределения некоторого семейства, которое обеспечивает максимальную (теоретическую, предсказываемую моделью) вероятность моделируемого события. Возьмем для определенности задачу моделирования случайной переменной с известными значениями ее реализации . Предполагается, что значения были выбраны независимо. Функция максимального правдоподобия имеет вид

,

т. е. равна вероятности одновременной реализации всех этих значений. Выбирается распределение, доставляющее максимум функции .

Пример. Снова возьмем семейство распределений Пуассона . Функция правдоподобия имеет вид:

.

Производная по обращается в нуль при . Таким образом, в данном случае задача решается в явном виде.

Усложнение модели. Рассмотрим семейство распределений Парето, имеющее два параметра, . В этом случае функция правдоподобия принимает вид

.

Производные равны нулю при

, .

Решение этих двух нелинейных уравнений относительно и даст оптимальное решение.

3. Модель индивидуального риска

Средняя чистая премия .

1.  Момент требования описывается распределением Пуассона с параметром , а размер требования – гамма-распределением . Найти чистую премию.

Решение. Найдем , где - порождающая функция моментов распределения Пуассона. Получаем , и потому

.

2.  Известны следующие значения случайных переменных , реализовывавшиеся в прошлом: , . Найти по принципу максимального правдоподобия распределение Пуассона, описывающее переменную , и экспоненциальное распределение, описывающее переменную , и на этой основе рассчитать чистую премию .

4. Перестрахование индивидуального превышения риска

Средняя чистая премия контракта перестрахования .

1.  Размер требования описывается экспоненциальным распределением с параметром . Задан порог ответственности . Оценить влияние размера требования на чистую премию, вычислив .

2.  Та же задача при распределении Парето .

5. Модель цикла страхования

Имеется секторов с объемами дохода . Общий объем инвестиций постоянен. Если инвестиции перетекают из секторов с меньшей доходностью (равной отношению дохода к инвестиции) в сектора с большей доходностью, каково будет стационарное распределение инвестиций (т. е. такое, при котором перетока инвестиций не будет)?

6. Свертки распределений

Найти такое семейство распределений , что свертка , т. е. распределение для случайной переменной , снова принадлежит этому семейству, с другим значением параметра: .

7. Порождающая функция моментов

Пусть , , , . Доказать, что .

Доказательство.

.

8. Распределения с рекуррентными соотношениями

Рассматривается случайная переменная со множеством неотрицательных целых чисел в качестве множества значений. Найти (или выбрать среди известных) такие семейства распределений, для которых для некоторых и , где .