Олимпиадные задания для 7 класса.

Олимпиада после летних каникул.

1. Как, не пользуясь измерительными инструментами, от шнура длиной м отрезать м?

2. Решите уравнение | | x – 386 | – 7 | = 5.

3. Натуральное число n делится на 12 и имеет 14 различных делителей (положительных). Найдите число n.

4. На координатной плоскости обозначена точка А (2; 1). Найдите все точки, имеющие целые координаты, которые находятся на расстоянии 5 от точки А.

5. Лифт едет с 1-го на 6-й этаж 15 секунд. За сколько секунд он проедет со 2-го по 10-й этаж?

Турнир смекалистых.

Раунд 1

1. Каких пятизначных чисел больше: не делящихся на 5 или тех, у которых ни первая, ни вторая слева цифры не пятёрки?

2. Верно ли утверждение, что число f (n) = n2 + n + 41 простое при любом целом n?

3. Длину прямоугольника уменьшили на 2,4 м, а ширину увеличили на 30 %. В результате площадь нового прямоугольника оказалась на 4 % больше площади старого. Найдите новую длину прямоугольника.

4. Рассказывая о своем дедушке, Катя каждый раз старалась назвать его по-новому: «отец брата отца», «брат отца брата», «отец отца брата», «брат отца отца». Сколько раз Катя ошиблась? (Все братья родные!)

5. Представьте, что все лжецы живут в одном городе, а все рыцари – в другом. Как выяснить у аборигена, куда ведёт интересующая нас дорога – в город рыцарей или в город лжецов?

Раунд 2.

1. Пять кошек поймали 5 мышек за 5 минут. Сколько кошек поймают 10 мышек за 10 минут?

2. В тёмной кладовой без порядка лежат ботинки: 10 пар чёрных и 10 пар коричневых. Сколько ботинок надо взять, чтобы среди них оказалась хотя бы одна пара (левый и правый ботинок) одного цвета? В темноте нельзя отличить не только цвет ботинка, но и левый от правого.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

3. Какое наибольшее число клеток доски 6 Ч 6 можно покрасить так, чтобы никакие две закрашенные клетки не соприкасались даже в одной точке?

4. Над озёрами летели гуси. На каждом озере садилась половина гусей и ещё полгуся, остальные летели дальше. Все сели на 7 озёрах. Сколько было гусей, если на последний остров сел один последний гусь?

5. Натуральное число n делится на 18 и имеет 14 различных положительных делителей. Найдите число n.

Математический бой.

Раунд 1

1. Хулиган Ваня разорвал школьную стенгазету на 10 кусков. Затем некоторые из кусков он разорвал ещё на 10 кусков, затем некоторые из кусков – ещё на 10 кусков и т. д. На следующий день собрали 1009 кусков. Все ли кусочки нашли?

2. Имеются 4 пакета и чашечные весы без гирь. За 5 взвешиваний расположите пакеты по весу.

3. На какое наименьшее число частей надо разрезать торт, чтобы его можно было раздать поровну как троим, так и четверым?

4. 30 лет назад возрасты Ани, Бори и Вали относились как 1 : 2 : 5. Сейчас возрасты Ани и Бори относятся как 6 : 7. Сколько сейчас лет Вале?

5. Найдите все двузначные числа, которые делятся на каждую свою цифру и на сумму своих цифр.

Раунд 2

1. Сравните a и b, если 5 ∙ (a – 1) = a2 + b.

2. Апельсин стоит 278 тубриков, а лимон – 455 тубриков. Куплено несколько фруктов общей стоимостью 3842 тубрика.

Сколько куплено лимонов?

3. Магазин снизил цену на стиральную машину на 10 %, при этом в результате продажи получает прибыль 8 %. Какую прибыль получал магазин до снижения цены?

4. Найдите все двузначные числа, которые после перестановки цифр увеличиваются на 75 %.

5. Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение х2у3 = 612?

Олимпиада 1.

1. В баке не менее 10 литров бензина. Можно ли отлить 6 литров с помощью девятилитрового ведра и пятилитрового бидона?

2. Решите уравнение (x – y)2 + (х – 3)2 + | 2x + y + z | = 0.

3. Можно ли разменять 37 рублей на десять монет достоинством в
1 рубль, 3 рубля и 5 рублей?

4. Прямоугольник разрезали на три прямоугольника, два из которых имеют размеры 7 Ч 11 и 4 Ч 8. Какие размеры может иметь третий прямоугольник? Найдите все возможные варианты.

5. Одно и то же число поделили с остатком на 3, на 12 и на 54. Сумма трёх полученных остатков оказалась равна 39. Найдите остаток, полученный при делении на 3.

Олимпиада 2.

1. Можно ли разменять 29 рублей на восемь монет достоинством в
1 рубль, 3 рубля и 5 рублей?

2. Коробейник купил на оптовом рынке партию ручек и предлагает покупателям либо одну ручку за 5 рублей, либо три ручки за 10 рублей. От каждого покупателя коробейник получает одинаковую прибыль. Какова оптовая цена ручки?

3. Найдите все пятизначные числа, у которых каждая цифра числа строго больше суммы цифр, стоящих правее неё. В частности, четвёртая цифра больше пятой.

4. Белка за 20 минут приносит орех в гнездо. Далеко ли от орешника её гнездо, если известно, что налегке белка бежит со скоростью 5 м/с, а с орехом 3 м/с?

5. В классе число отсутствующих учеников составляет часть от числа присутствующих. После того как из класса вышел один ученик, число отсутствующих стало равно числа присутствующих. Сколько учеников учится в этом классе?

Олимпиада 3.

1. – Который час? – спросили Пифагора. Он ответил:

– До конца суток остается дважды две пятых того, что уже протекло от начала.

В какое время суток был задан вопрос?

2. Определите, сколько диагоналей в выпуклом произвольном восьми-
угольнике.

3. Докажите, что при любом целом а выражение а3 – 7а делится на шесть.

4. Найдите стороны прямоугольника, у которого периметр численно равен площади, а стороны – натуральные числа.

5. Найдите все натуральные числа, делящиеся на 6 и имеющие ровно 14 различных делителей.

Олимпиада 4.

1. Решите систему уравнений

2. Известно, что х +  = 11. Чему равно х2 + ?

3. Известно, что a + – целое число, а a не целое.

Докажите, что a3 + – целое число.

4. Решите уравнение | x – 7 | = x – 7.

5. Натуральное число кратно 11.

Может ли сумма его цифр равняться 111?