Общие требования к лабораторным работам

Общие требования к лабораторным работам.

В отчетах должны содержаться все исходные коды программ, необходимые математические расчеты, требуемые в задании графики и таблицы.

Тексты программ должны быть снабжены необходимым количеством комментариев, достаточных для легкого понимания кода программ.

Графики должны быть подписаны, обозначены оси абсцисс и ординат. При наличии нескольких графиков на одном рисунке желательно оформление графиков разными типами линий (сплошная, пунктирная и т. п.).

Рекомендуемый язык создания программ и отображения графиков – MatLab. Чтобы MatLab корректно работал с русскими буквами при отображении графиков, в конец файла toolbox/local/matlabrc.m следует дописать set(0, 'DefaultAxesFontName', 'Arial Cyr');

Лабораторная работа 1. Схема Горнера.

1. Составить программу, вычисляющую для заданного многочлена и числа значение .

На входе: массив и скаляр .

На выходе: .

2. Составить программу, вычисляющую .

На входе: массив и скаляр .

На выходе: .

3. С применением полученных программ отобразить на одном рисунке графики и для из интервала . Проверить выполнение программы для и ручным счетом. Варианты заданий:

№			№
1	2 3 5 -4 2	-3 -1	7	-1 1 -1 3 -2	0 2
2	5 -2 -5 -2	1 2	8	3 3 -4 4	0 2
3	-1 0 -2 4 0	-4 -1	9	-2 0 2 1 -5	-1 -1
4	4 4 -3 -4	-1 2	10	1 0 -4 3	0 -3
5	1 -3 2 -2 5	-1 2	11	1 5 -2 -3 2	1 2
6	-3 -3 1 -1	-5 4	12	-2 2 1 0	-1 1

Лабораторная работа 2. Полиномы наилучшего

приближения в пространстве C.

1. Построить полином наилучшего приближения в для заданной функции . Найти наилучшее приближение.

1.1. Построить на одном рисунке графики и . Пунктиром представить хорду и касательную (см. метод. указания). Показать местоположение точек альтернанса.

Варианты заданий:

№		№
1		7
2		8
3		9
4		10
5		11
6		12

2. Найти полином наилучшего приближения для

2.1. Построить на одном рисунке графики , и полинома Чебышева , сосчитав предварительно значения корней и точек экстремума. Указать на графике местоположение точек альтернанса.

Варианты заданий:

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
n	n=3	n=4	n=5	n=6	n=7	n=8	n=3	n=4	n=5	n=6	n=7	n=8

Лабораторная работа 3. Конечные и разделенные разности.

1. Составить программу, вычисляющую конечные разности функции .

На входе: – интервал значений x;

n – число узлов;

m – наибольший порядок вычисляемых разностей.

На выходе: массив размера .

Первый столбец массива – значения в узлах;

Второй столбец массива – разности первого порядка;

………………………………………………

Столбец – разности порядка m.

1.1. Напечатать таблицу конечных разностей . – из лабораторной работы №2. Для каждого столбца таблицы дать теоретическую оценку максимально возможной погрешности округления, предполагая, что вычислено с 15 знаками точности (арифметика double). Какие разности можно считать почти постоянными, соизмеримыми с погрешностью? Вычисления проводить в арифметике double (в MatLab использовать команду format long). Для представления «широкой» таблицы на листе A4 допускается ее разбиение на несколько частей (например, сперва представить столбцы 1-4, затем столбы 5-8, затем столбцы 9-11).

2. Составить программу, вычисляющую разделенные разности .

На входе: массивы и ;

m – наибольший порядок вычисляемых разностей.

На выходе: массив размера .

Первый столбец массива – значения функции в узлах (массив y)

Второй столбец – разности первого порядка.

………………………………………………

Столбец – разности порядка m.

2.1. Напечатать таблицу разделенных разностей , . Оценить грубо значение четвертой производной для . Сравнить с точным значением четвертой производной для .

Лабораторная работа 4. Интерполяционный

многочлен в форме Лагранжа и Ньютона.

1. Составить программу, вычисляющую для заданной таблицы и точки значение интерполяционного многочлена по формуле Лагранжа.

На входе: и – массивы;

– скаляр.

На выходе: – значение интерполяционного многочлена в точке .

1.1. Для функции составить таблицу для трех равноотстоящих узлов из интервала [0,1] (т. е. ). Построить на одном рисунке графики и . Обозначить на графике точки, по которым проводилась интерполяция. Оценить качество интерполяции: . Для приближенного вычисления взять «мелкую» сетку узлов: .

Варианты заданий:

№		№
1		7	+
2		8	+
3		9	+
4		10	+
5		11	+
6		12	+

1.2. Повторить задание 1.1 для разного числа узлов: n=6, n=11, n=21, n=41.

2. Составить программу, вычисляющую значение интерполяционного многочлена по формуле Ньютона.

На входе: – массив узлов;

Y – матрица разделенных разностей, формируемая в лаб. раб №3.

– скаляр.

На выходе: .

2.1. С применением полученной программы провести интерполяцию по трем равностоящим узлам, представив на одном рисунке графики и , а также обозначив точки, по которым проводилась интерполяция. Просчет таблицы разделенных разностей произвести только один раз.

2.2. Повторить задание 2.1 для разного числа узлов: n=6, n=11, n=21, n=41.

Лабораторные работы 5 и 6 - пропускаем.

Лабораторная работа 7. Квадратурные формулы

Ньютона-Котеса. Составные квадратурные формулы.

1. Составить программу, вычисляющую значение определенного интеграла функции по формуле средних прямоугольников.

На входе: [a, b] – интервал интегрирования;

n – число узлов.

На выходе: приближенное значение интеграла.

2. Задание 1, но с формулой трапеций.

3. Задание 1, но с формулой Симпсона.

4. Выполнить полученные программы для из лаб. раб. №2, [a,b]=[0, 0.4], n=5. Результаты свести в таблицу: в каждом столбце указать метод, точное значение интеграла, приближенное значение, фактическую погрешность, теоретическую погрешность, погрешность по методу Рунге.

5. Представить график, показывающий динамику уменьшения фактической погрешности формулы прямоугольников при увеличении числа узлов. По оси абсцисс – число узлов от 5 до 21, по оси ординат – фактическая погрешность. На этом же рисунке показать графики теоретической погрешности и погрешности, оцененной по методу Рунге.

6. Задание 5, но для формулы трапеций.

7. Задание 5, но для формулы Симпсона.

8. Представить на одном рисунке графики уменьшения фактических погрешностей всех трех методов.

Лабораторная работа 8 - пропускаем.

Лабораторная работа 9. Квадратурные формулы

Гаусса и Мелера.

1.1. Построить квадратурную формулу Гаусса с n узлами для промежутка . Узлы квадратурной формулы найти как корни многочлена Лежандра (при имеем биквадратное уравнение), коэффициенты – по формуле:

где – найденные узлы, – канонический полином Лежандра. Варианты заданий:

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
n	n=2	n=3	n=4	n=5	n=2	n=3	n=4	n=5	n=2	n=3	n=4	n=5

1.2 Составить программу, вычисляющую значение определенного интеграла функции по формуле Гаусса.

На входе: [a, b] – интервал интегрирования;

n – число узлов ()

На выходе: приближенное значение интеграла.

Узлы и коэффициенты квадратурной формулы взять из таблицы (или вычислить по заданию 1.1.)

1.3. Вычислить , – из лаб. раб. №2, для различных n. Результаты свести в таблицу, указав для каждого n фактическую и теоретическую погрешности. Формула для теоретической погрешности:

2. Составить программу, вычисляющую по формуле Мелера (Эрмита).

На входе: n – число узлов ( – любое)

На выходе: приближенное значение интеграла.

2.1. Вычислить , – из лаб. раб. №2, для различных n. Представить график уменьшения фактической погрешности при увеличении n. На этом же рисунке показать график уменьшения теоретической погрешности. Ось ординат представить в логарифмическом масштабе. Формула для теоретической погрешности:

Лабораторная работа 10. Формула прямоугольников и ее тригонометрическая степень точности.

Вычислить от периодической функции с периодом по формуле прямоугольников для разных значений количества узлов. В отчете для каждого n представить фактическую погрешность, теоретическую погрешность и погрешность по методу Рунге (см. лаб. раб. №7), а также теоретическую погрешность, «учитывающую» периодичность функции:

Варианты заданий:

№		№
1		7
2		8
3		9
4		10
5		11
6		12

Лабораторная работа 11. Метод Ньютона и другие

методы решения Трансцендентных уравнений.

1. Составить программы, вычисляющие корень уравнения различными итерационными методами:

1.1. Метод Ньютона;

1.2. Метод секущих;

1.3. Метод прямой квадратичной интерполяции по трем точкам;

1.4. Метод обратной квадратичной интерполяции;

1.5. Метод Чебышева, связанный с разложением обратной функции в ряд Тейлора;

1.6. Метод, связанный с аппроксимацией прямой функции многочленом Тейлора второй степени.

На входе: – начальное приближение;

– число шагов алгоритма;

– «внешние» функции, определяющие целевую функцию и ее первые две производные.

На выходе: – массив последовательных приближений.

2. Представить на одном рисунке графики сходимости различных методов. По оси абсцисс – номер шага алгоритма, по оси ординат – фактическая погрешность. Ось ординат представить в логарифмическом масштабе. Начальное приближение найти графически.

Варианты заданий:

№		№
1		7
2		8
3		9
4		10	+0.5
5	+1	11
6		12

Лабораторная работа 12. Метод Ньютона

для решения систем уравнений.

1.  Составить программу, решающую систему двух уравнений методом Ньютона.

На входе: – начальное приближение;

– число шагов алгоритма;

– «внешние» функции, определяющие систему уравнений;

– частные производные.

На выходе: и – массивы последовательных приближений.

2.  Выполнить алгоритм для системы уравнений

Варианты заданий:

№		№
1		7
2		8
3		9
4		10
5		11
6		12

Представить график сходимости метода: по оси абсцисс – номер шага алгоритма, по оси ординат – фактическая погрешность , где - точное решение (за него можно принять , полученные при достаточно большом n).

3. Построить на одном рисунке графики кривых , , отметить на рисунке найденное решение.

Лабораторная работа «0». Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.

Методические указания: http://www. math. spbu. ru/user/pan/Page3-5.htm

Варианты заданий.

№	ОДУ	Метод решения
1	y'=cos(1.75*x+y)+1.25*(x-y)	Эйлера (трапеций)
2	y'=cos(2*x+y)+1.5*(x-y)	Рунге-Кутта
3	y'=1-sin(1.25*x+y)-0.1*y/(2+x)	Экстраполяционный Адамса
4	y'=1-sin(1.25*x+y)-0.1*y/(2+x)	Интерполяционный Адамса
5	y'=1-sin(2*x+y)-0.5*y/(2+x)	Эйлера (трапеций)
6	y'=cos(y)/(1+x)-0.5*y2	Рунге-Кутта
7	y'=1+(0.5-x)*sin(y)-(1+x)*y	Экстраполяционный Адамса
8	y'=1+(0.75-x)*sin(y)-(1.25+x)*y	Интерполяционный Адамса
9	y'=1+(1-x)*sin(y)-(1.5+x)*y	Эйлера (трапеций)
10	y'=1+(1.25-x)*sin(y)-(1.75+x)*y	Рунге-Кутта
11	y'=1+(1.5-x)*sin(y)-(2+x)*y	Экстраполяционный Адамса
12	y'=(0.6-y2)*cos(x)+0.2*y	Интерполяционный Адамса

Составить программу для решения ОДУ (согласно своему варианту).

На входе: ;

- внешняя функция;

- шаг сетки узлов;

- параметр в методе Адамса

Решить ОДУ из задания. Входные данные: – варьируется. Построить график зависимости фактической ошибки от . Под фактической ошибкой понимать ошибку вычисления . Для получения «точного» решения ОДУ запустить программу с достаточно малым Отобразить на рисунке график «точного» решения и нескольких «приближенных» (с разным h).