III Турнир «Кама – Challenge»
Математическая игра «Пенальти». Решения. г. Пермь. 31 октября 2015 года.
7 | 8 | 9 | 10 | |
… | 6 | 1 | 2 | 11 |
18 | 5 | 4 | 3 | 12 |
17 | 16 | 15 | 14 | 13 |
1. В клетки бесконечной клетчатой плоскости записываются «по спирали» подряд все натуральные числа (см. рис.). Если считать, что в обычной системе координат у числа 1 будут координаты (0;0), а у числа 10 – (2; 1), то какие координаты будут у числа 2015? ((12; 22). Заметим, что квадраты всех нечётных чисел идут последовательно по диагонали (1, 9, 25, 49, …), при этом у числа (2N+1)2 c целым неотрицательным N координаты равны (N; N). В частности, у числа 2025=452=(2×22+1)2 будут координаты (22; 22). Тогда у числа 2015 первая координата будет на 2025-2015=10 меньше.)
2. Длина круга стадиона равна 400м. Три бегуна одновременно стартовали в часовом забеге с одной стартовой линии, каждый – со своей постоянной скоростью. Первый бегун пробежал 20 км, второй – 19 км, третий – 18км. Сколько раз во время этого забега один из бегунов обгонял другого? (8 раз. Первый пробежал за час 50 кругов, второй – 47,5 кругов, третий – 45 кругов. Тогда первый обогнал второго 2 раза, третьего – 4 раза, а второй обогнал третьего 2 раза.)
3. Найдите наименьшее натуральное число, при приписывании к которому слева любой ненулевой цифры k новое полученное число будет делиться на k. (2520. Заметим, что данное число N после приписывания к нему слева цифры k превращается в 10m×k+N, где m – количество цифр в числе N. Значит, число N делится на любую ненулевую цифру k, а само N=НОК(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)=23×32×5×7=2520.)
4. При каких значенияx параметров a, b и c уравнение ax2+bx+c=0 имеет ровно одно решение? (при a¹0 дискриминант D=b2-4ac=0 и при a=0, b¹0)
5. Найдите наименьшее число a, при котором в квадрат со стороной a можно поместить пять кругов радиуса 1, попарно не имеющих общих внутренних точек. (2 + 2
. Центры кругов находятся в квадрате со стороной (a–2). Разделим его на четыре равных квадратика. В одном из них находятся два центра, поэтому диагональ квадратика не меньше расстояния между центрами кругов, т. е. не меньше 2. Отсюда a ³ 2 + 2. Разместив центры пяти кругов в четырёх вершинах и центре квадрата со стороной 2, увидим, что они “вписываются” в квадрат со стороной 2 + 2.)
6. Найдите общее число различных значений, принимаемых функцией f(x)=[x]+[2x]+[3x] на отрезке [0; 2015]. ([x] – целая часть числа x – наибольшее целое число, не превосходящее x) (8061=2016+2015+2015×2. Данная функция будет кусочно-непрерывной, увеличивающая свои значения в каждой целой точке (2016 раз), каждой полуцелой (2015 раз) и каждой точке (2015×2=4030) вида n/3, где натуральное число n не делится на 3.)
7. Решите неравенство 
. (Область определения функции такова, что 
, где k – любое целое число, но в крайних точках всех интервалов (при sinx=0 или cosx=0) сумма данных корней превратится в 1. В остальных же точках интервалов 
, значит, 
, где k – любое целое число.)
8. Представьте число 
в виде разности двух корней из соседних натуральных чисел. (
)
9. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О. Какую наименьшую площадь может иметь этот четырёхугольник, если площадь DAOB равна 4 см2, а площадь DCOD равна 9 см2? (25 см². 36=4×9=SDAOB×SDCOD=1/4×AO×BO×CO×DO×sinÐAOB×sinÐAOD=SDAOD×SDCOB. Тогда 
, причём равенство достигается при SDAOD=SDBOC=6. Видим, что площадь данного четырёхугольника не меньше 4+9+6+6=25 (см²). Пример для такой площади существует. Нужным четырёхугольником является равнобочная трапеция с перпендикулярными диагоналями и АО=BO=
, CO=DO=
.)
10. Найдите сумму дробей 
. Ответ дать в виде несократимой дроби. (
. Воспользуемся справедливой при любом натуральном n формулой 
. Тогда 
.)
11. Треугольную пирамиду разрезали по боковым ребрам и сделали развёртку. Она оказалась квадратом со стороной 1. Найдите объём исходной пирамиды. (
. Высота пирамиды будет равна 1, а в основании окажется равнобедренный прямоугольный треугольник со стороной 
, значит, объём равен 
.)
12. Сколькими способами множество {1, 2, …, 2015} можно разбить на три непустых подмножества, ни одно из которых не содержит никакой пары последовательных чисел? (22013 – 1. Будем строить такое разбиение последовательно. Обозначим через А подмножество разбиения, содержащее единицу, через В – подмножество, содержащее двойку, через С – третье подмножество. У каждого числа m, начиная с 3, две возможности: оно может попасть в одно из двух подмножеств, не содержащих m – 1. Итого получаем 22013 разбиений. Но среди них есть одно лишнее: когда множество С пусто (в А попали все нечётные числа, в В – все чётные).)
13. Основания AD и BC трапеции ABCD равны a и b. Найдите длину отрезка, высекаемого диагоналями на средней линии трапеции. (|a – b|/2. Пусть P и Q – середины сторон AB и CD, K и L – точки пересечения прямой PQ с диагоналями AC и BD. Тогда PL=a/2 и PK=b/2, поэтому KL=|PL–PK|=|a –b|/2.)
14. На плоскости отмечены три точки – с координатами (0; 0), (0; 1) и (1; 0). Разрешается отмечать новые точки, получаемые симметрией отмеченной точки относительно другой отмеченной точки. Какие точки могут быть отмечены? (Все точки с целочисленными координатами, не являющимися одновременно нечётными числами. Заметим, что при данной операции всегда будут возникать только точки с целочисленными координатами, при этом каждая точка будет иметь набор координат по чётности, аналогичный точке, отображавшейся на неё. Значит, никогда не возникнет точка с обеими нечётными координатами. Остальные же точки с целочисленными координатами получить можно.)
15. Решите систему уравнений: 
. ((0, 0); (3, 3); 
. Вычитая, получим x2-y2=5(x – y). При x=y получаем первые два ответа. Если x не равно y, то (1): x+y=5. Складывая исходные уравнения, получаем также x2 + y2 = 3(x + y) = 15. Отсюда (2): xy=5, и решаем простую систему из двух уравнений (1) и (2).)
16. Расставьте 32 коня на шахматной доске так, чтобы каждый бил ровно двух других. (Например, см. расстановку на рисунке – отмечены клетки для коней.)
