4. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
4.1. Вычислить значения выражения 
.
Решение.
.
Ответ: 24
4.2. Вычислить значения выражения 
.
Решение.
.
Ответ: 1
4.3. Вычислить значения выражения 
.
Решение.
.
Ответ: 11.
4.4. Решите уравнение 
.
Решение.
.
Ответ: 
.
4.5. Решите уравнение 
.
Решение.
.
Ответ: 4.
4.6. Решите уравнение 
.
Решение.
Используя основное логарифмическое тождество, получаем:
.
Ответ: 
.
4.7. Решите неравенство 
.
Решение.
.
Ответ: 
.
4.8. Решите неравенство 
.
Решение.
.
Ответ: 
.
4.9. Решите уравнение 
.
Решение.
.
Ответ: 79.
4.10. Решите уравнение 
.
Решение.
Ответ: .
4.11. Решите уравнение 
.
Решение.
.
Ответ: 2.
4.12. Решить уравнение 
Решение.
Обозначим 
. Тогда 1) 
2) 
, откуда следует 
. Поэтому 
.
Ответ: 1000.
4.13. Решите неравенство 
.
Решение.
.
Ответ: 
.
4.14. Решите неравенство 
.
Решение.
.
Ответ: 
.
4.15. Решите неравенство 
.
Решение.
.
Ответ: 
.
4.16. Решите неравенство 
.
Решение.
. Так как основание логарифма меньше единицы, то
.
Ответ: 
.
4.17. Решите неравенство 
.
Решение.
Рассмотрим функцию 
, область определения которой определяется неравенством, которого следует 
. Так как 
при , а основание логарифма меньше единицы, то 
. Поэтому при любом значения функции 
положительны. Это значит, что решение неравенства можно записать так 
.
Ответ: .
4.18. Решите неравенство 
.
Решение.
Область определения: 
.
Используя свойства логарифмов, получим
.
Так как 
, то 
. Сократив обе части неравенства на положительное число 
, получим: 
.
Учитывая, что согласно области определения 
, рассмотрим два случая.
При 
неравенство примет вид: 
, что неверно.
Если 
, то 
.
Последнее неравенство решим, используя замену 
(
).
Получим 
. Это неравенство верно для всех значений переменной 
, а значит и для всех 
. Из этого следует, что исходное неравенство справедливо для всех рассматриваемы значений 
() из области определения (
), т. е. 
.
Ответ: .
4.19. Решите неравенство 
.
Решение.
Найдем область определения:
.
Учитывая область определения, и используя свойства логарифма, запишем неравенство в виде:
.
Для всех значений переменной из области определения 
основание логарифма 
, а значит, функция 
монотонно возрастает. Следовательно
.
Пересечение полученного решения с областью определения:
.
Ответ: 
.
4.20. Найдите все значения , удовлетворяющие уравнению 
при любых значениях параметра 
.
Решение.
Найдем значения , удовлетворяющие уравнению при 
.
.
Решением уравнения при являются только два значения: 
и 
. Следовательно, 
и 
не удовлетворяют условию задачи, так как не являются решением уравнения при .
Если , уравнение принимает вид: 
. Это равенство определено только при 
, а следовательно не может являться решением при всех значениях параметра .
Если , то уравнение принимает вид: 
. Это равенство выполнено при всех значения . Следовательно, является решением уравнения при любом значении параметра .
Ответ: 5.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
4.1. Решите уравнение 
.
4.2. Решите уравнение 
.
4.3. Решите уравнение 
.
4.4. Решите уравнение 
.
4.5. Решите неравенство 
.
4.6. Решите неравенство 
.
4.7. Решите неравенство 
.
4.8. Решите уравнение 
.
4.9. Решите уравнение 
.
4.10. Решите уравнение 
.
4.11. Решите неравенство 
.
4.12. Решите неравенство 
.
4.13. Решите уравнение 
.
4.14. Решите неравенство 
.
Ответы к задачам для самостоятельного решения
4.1. 3; 4.2. 
; 4.3. 
; 4.4. 1; 4.5. 
; 4.6. 
; 4.7. 
; 4.8. 
;
4.9. 20; 4.10. 
; 4.11. 
; 4.12. 
; 4.13. 5;
4.14. 
.
