12.Экстремумы функции

12.Экстремумы функции

Опр1: Пусть f(х) определена в нек окрестности u(х0) точки х0 и х u(х0) f(х)≤ f(х0). Тогда х0- точка максимума.

Опр2: Пусть f(х) определена в нек окрестности u(х0) точки х0 и х u(х0) f(х)≥ f(х0). Тогда х0- точка минимума.

Если f(х)< f(х0), то х0-точка строгого максимума.

Если f(х)> f(х0), то х0-точка строгого минимума.

х0-точка строго локального максимума(миним) если >0х u0(х0, ) f(х)< f(х0) (f(х)>f(х0))

Опр3: х0- точка экстремума, если она либо точка максим, либо точка миним. Значение функции в точки экстремума наз экстремумом функции.

Опр4:Точки в которых производная функции равна нулю или не существует наз критическими.

Опр5: Точки в которых производная функции равна нулю наз стационарными.

Опр6:Функция f(х) наз выпуклой вверх (вып вниз-вогнутой) на интервале(а, в), если выпол услов:х1,х2 (а, в) х1 < х2, х0 ( х1, х2) f(х0)≥( х0) (f(х0)≤( х0) ), где y=(х)- уравн хорды, проход ч/з точ (х1, f(х1)) и (х2, f(х2)).

Геометрически выпук вверх означает, что любая точка хорды лежит выше точки графика функции, соответствующей тому же самому знач аргумента.

Опр7: Функция f(х) наз строго вып вверх (строго вып вниз) на интервале(а, в), если х1,х2 (а, в)

х1 < х2, х0 ( х1, х2) f(х0)>( х0) (f(х0)<(х0))

Всякий интервал, на котором фун-ия вып вверх наз интервалом вып вверх.

Другие опред выпуклости:

1.  f(х) опред и диффер на (а, в), f(х) выпукла вверх на (а, в), если х0 ( а, в) и х( а, в) f(х)≤ f(х0)+f’(х0)(x - х0)-если график функции лежит ниже любой касательной на этом промежутке

2.  f(х) выпукла вверх на (а, в), если х1,х2 (а, в) f((х1+ х2)/2)) ≥(f(х1)+ f(х2))\2

Необх услов точек экстремума.

Пусть f(х) опред в некотор окрес u(х0) точ х0 и f’(х0) и х0-точка макс, тогда f’(х0)=0.

Доказа-во. По опред точк макс u1(х0) х u1(х) f(х)≤ f(х0).В окрест u1(х0) f(х0)наибольш знач функции. Тогда вы окрестн u1(х0) выпол условие теоремы ферма f’(х0)=0.

Условие не является достаточным у=х3 х0=0 у’(0)=0, х=0-не являет точ экстрем.

знак при переходе ч\з точ х0.

у’=

диф на R, х=0 произ имеет разрыв 2 рода и произ меняет знак.

Достаточ условие выпуклости.

Пусть f(х) дважды дифф функ на (а, в), если

1.х( а, в) f’’(х)≤0 (f’’(х)<0), то функция f(х) вып вверх (строго вып вверх)

2. х( а, в) f’’(х)≥0 (f’’(х)>0), то функция f(х) вып вниз (строго вып вниз)

Необх услов точек перегиба.

Пусть точка х0 точ перегиба функ f. Тогда, если f’’(х0), то f’’(х0)=0

Док-во: для функции f(х) применяем фор тейлора:

f(х)= f(х0) +f’(х0)(x - х0)\ L(х) +f’’(х0)\2!*(х - х0)2 +0((х - х0)2)

f(х)- L(х)= f’’(х0)\2!*(х- х0)2 +0((х - х0)2)

Знак всей суммы стоящей в правой части равенства определ знаком пер слаг в некот окрест точ х0. Пусть f’’(х0)0.Для опр пусть f’’(х)>0u(х0,)

f’’(х0)\2!*(х- х0)2 +0((х - х0)2)>0 f(х)- L(х)>0 f(х)> L(х) касат лежит ниже, чем функцияв окрест точ х0 функ вып вниз, а это против тому, что х0 точка перегибапредпол не верно f’’(х0)=0

Первое достат услов точ перег.

Пусть f(х) дважды дифф функ в некот окрес точ х0. Если при переходе ч\з точ х0 f’’(х) меняет знак, то х0 точка перегиба.

До-во:

Возьмем для опред х( х0-, х0) f’’(х)>0вып вверх.

х( х0, х0+) f’’(х)<0вып вниз.

Т. об х0 – общая граничная точ промеж вып вниз и вып вверхона явл точк перегиба.

Второе достат услов точ перег.

Пусть f(х) опред в некот окрес точ х0. Пусть f’’(х0)=0, f’’’(х0)0, тогда х0 точка перегиба.

До-во:

Воспол форм Тейлора f(х)= f(х0) +f’(х0)(x - х0)\ L(х) +f’’(х0)\2!*(х - х0)2 + f’’’(х0)\3!* (х - х0)3 +0((х - х0)3)

f(х) - L(х)= f’’’(х0)\3!* (х - х0)3 +0((х - х0)3).

В некот окрес точ х0 знак суммы опре знак перв слагаем. При переходе ч\з т х0 1-ое слагаем меняет знак. т. к. f’’’(х0)0разность f(х)- L(х) меняет знак х0 точка перегиба по опред2.

Пример:1) f(х)=х3 f’’(х)=6х, f’’(х)<0, х<0 и f’’(х)>0 при х>0. На Инте (-,0) функ f(х) =х3 строго выпук вверх, на интер (0,+ ) f(х)=х3 строго вып вниз, х0-точка перегиба.

Урав касат в ней:у=0 и при х<0 f(х)<0, при х>0 f(х)>0.

2) f(х) = f’’(х)=-2\9*х0 f’’(х)<0(-,0); (0,+ )-интер строгой выпук вверх. х0 (f(х)+ f(-х))\2= f(х)>0= f(0)х=0 не принад интер вып вверх. График функции в т (0,0) имеет вертикал касат и его ветви (х>0, х<0,лежат по разные стороны от нее, но х=0 не явл точ перегиба, т. к.f не дифф в т х0.)