Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Московский институт электроники и математики Национального
исследовательского университета "Высшая школа экономики"
Факультет Прикладной математики и кибернетики
Программа дисциплины
«Предельные теоремы теории вероятностей»
для направления 010400.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
Автор программы: , evgeni. *****@***ru
Одобрена на заседании кафедры Высшей математики МИЭМ «___»____________ 20 г
Зав. кафедрой
Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 20 г
Председатель [Введите ]
Утверждена УС факультета [Введите название факультета] «___»_____________20 г.
Ученый секретарь [Введите ] ________________________ [подпись]
Москва, 2013
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
| Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» для направления 010400.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра |
1. Цели и задачи дисциплины.
Научить студентов анализировать и доказывать различные предельные теоремы теории вероятностей.
2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО.
Дисциплина относится к разделу ООП «естественнонаучные дисциплины» и является частью профессионального учебного цикла в структуре ООП бакалавриата. Для освоения дисциплины понадобятся сведения из математического анализа, линейной алгебры, теории вероятностей, линейного программирования, теории случайных процессов.
3. Требования к уровню освоения дисциплины
Изучение дисциплины способствует формированию следующих компетенций в соответствии с ФГОС ВПО по направлению «Прикладная математика и информатика (бакалавриат)»
а) общекультурных (ОК):
-- владение культурой мышления, умение аргументированно и ясно строить устную и письменную речь (ОК-1);
--умение воспринимать и анализировать информацию (ОК-5)
б) профессиональных (ПК):
-- освоение базовых знаний, понимание принципов теорий, связанных с прикладной математикой (ПК-1);
-- способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат (ПК-3);
-- способность использовать стандартные пакеты прикладных математических программ для решения задач (ПК-10);
-- способность приобретать новые научные и профессиональные знания, используя современные образовательные и информационные технологии (ПК-2).
В результате изучения дисциплины студент должен
знать:
· Формулировки основных предельных теорем теории вероятностей;
· Различные методы доказательства предельных теорем;
· Способы оценки скоростей сходимости к предельным распределениям.
уметь:
· Анализировать виды сходимостей сумм случайных величин к предельным распределениям;
· Применять различные аналитические методы к исследованию предельных распределений сумм случайных величин;
· Анализировать различные требования к исходным распределениям случайных величин.
Вид учебной работы | Всего часов / зачетных единиц | Семестры | |||
5 | |||||
Аудиторные занятия (всего) | 18 / 2 | 18 / 2 | |||
В том числе: | |||||
Лекции | |||||
Практические занятия (ПЗ) | 18 / 2 | 18 / 2 | |||
Семинары (С) | |||||
Лабораторные работы (ЛР) | |||||
Самостоятельная работа (всего) | 6 / 2 | 6 / 2 | |||
В том числе: | |||||
Курсовой проект (работа) | |||||
Расчетно-графические работы | |||||
Реферат | |||||
Другие виды самостоятельной работы | 6/ 2 | 6/ 2 | |||
Вид промежуточной аттестации: зачет, экзамен | 24 / 2 | 24 / 2 | |||
Общая трудоемкость часы зачетные единицы | 24 | 24 | |||
3 | 3 |
Вид учебной работы | Всего часов | Семестры | ||
Общая трудоемкость дисциплины | 24 | 5 | ||
Аудиторные занятия | ||||
Лекции (Л) | ||||
Практические занятия (ПЗ) | ||||
Семинары (С) | ||||
Лабораторные работы (ЛР) | 18 | 5 | ||
И (или) другие виды аудиторных занятий | ||||
Самостоятельная работа | 5 | |||
Курсовой проект (работа) | ||||
Расчетно-графические работы | ||||
Реферат | ||||
И (или) другие виды самостоятельной работы | 18 | 5 | ||
Вид итогового контроля (зачет, экзамен) | зачет | 5 |
4. Объем дисциплины и виды учебной работы.
(В первой графе таблицы указываются виды аудиторных и самостоятельных занятий студентов. Во второй графе указывается общая трудоемкость дисциплины в соответствии с ГОС ВПО, объем аудиторных и самостоятельных занятий – в соответствии с примерным учебным планом. В третьей графе указываются номера семестров, в которых предусматривается каждый вид учебной работы и вид итогового контроля по дисциплине).
Содержание разделов дисциплины
5. Содержание дисциплины
5.1. Содержание разделов дисциплины
№ п/п | Наименование раздела дисциплины | Содержание раздела |
1. | Введение в предмет предельных теорем теории вероятности и закон больших чисел | Неравенство Чебышева. Теорема Маркова. Теорема Чебышева. Неравенство Колмогорова. Теорема Хинчина. |
2. | Закон больших чисел для независимых случайных величин | Усиленный закон больших чисел. Теорема Бернштейна (закон больших чисел). Теорема (о сходимости последовательности случайных величин к 0 по вероятности). |
3. | Сходимость последовательности случайных величин | Теорема (о сходимости последовательности случайных величин к 0 по вероятности). |
4. | Закон повторного логарифма. | Теорема (верхний закон повторного логарифма). Неравенство Ляпунова. Теорема Ляпунова. Теорема о применимости нормального закона к схеме Пуассона. |
5. | Центральная предельная теорема | Теорема Линдеберга (формулировка и план доказательства). Теорема Феллера (формулировка и план доказательства). Теорема Бернштейна (ЦПТ). |
6. | Безгранично целые законы распределения | Некоторые свойства безгранично делимых законов. Формула Хинчина – Леви. Теорема Шварцшильда. Теорема Крамера. |
7. | Предельный закон распределения экстремальных членов вариационного ряда | Предельный закон третьего типа с примерами. Законы 1 – ого типа (двойной показательный закон) с примерами |
8. | Предельные распределения крайних членов вариационного ряда из непрерывных распределений | Теорема Гнеденко о предельных распределениях (вспомогательные леммы). |
5.2 Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
№ п/п | Наименование обеспе-чиваемых (последую-щих) дисциплин | № № разделов данной дисциплины, необходимых для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин | ||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||
1. | Численные методы | * | * | * | * | * |
2. | Исследование операций | * | * | * | ||
3. | Теория риска | * | * | |||
4. | Основы теории принятия решений | * | * |
5.3. Разделы дисциплин и виды занятий
№ п/п | Наименование раздела дисциплины | Лекц. | Практ. зан. | Семин. | СРС | Все-го |
1. | Введение в предмет предельных теорем теории вероятности и закон больших чисел | 2 | 2 | |||
2. | Закон больших чисел для независимых случайных величин | 2 | 2 | |||
3. | Сходимость последовательности случайных величин | 2 | 2 | |||
4. | Закон повторного логарифма. | 2 | 2 | |||
5. | Центральная предельная теорема | 4 | 4 | |||
6. | Безгранично целые законы распределения | 2 | 2 | |||
7. | Предельный закон распределения экстремальных членов вариационного ряда | 2 | 2 | |||
8. | Предельные распределения крайних членов вариационного ряда из непрерывных распределений | 2 | 2 |
План практических занятий.
Занятие №1. Неравенство Чебышева. Теорема Маркова. Теорема Чебышева. Неравенство Колмогорова. Теорема Хинчина.
Занятие №2. Усиленный закон больших чисел. Теорема Бернштейна (закон больших чисел). Теорема (о сходимости последовательности случайных величин к 0 по вероятности).
Занятие №3. Теорема (о сходимости последовательности случайных величин к 0 по вероятности).
Занятие №4. Теорема (верхний закон повторного логарифма). Неравенство Ляпунова. Теорема Ляпунова. Теорема о применимости нормального закона к схеме Пуассона.
Занятие №5. Теорема Линдеберга (формулировка и план доказательства).
Занятие №6. Теорема Феллера (формулировка и план доказательства). Теорема Бернштейна (ЦПТ).
Занятие №7. Некоторые свойства безгранично делимых законов. Формула Хинчина – Леви. Теорема Шварцшильда. Теорема Крамера.
Занятие №8 Предельный закон третьего типа с примерами. Законы 1 – ого типа (двойной показательный закон) с примерами
Занятие №9. Теорема Гнеденко о предельных распределениях крайних членов вариационного ряда из непрерывных распределений (вспомогательные леммы).
Самостоятельная работа
Вид работы | Количество часов | Литература |
Подготовка к практическим занятиям | 18 (2 час на каждое занятие) | Конспекты лекций, учебники [2], [3], [7] из списка рекомендуемой литературы |
Подготовка к зачету | 6 | Конспекты лекций и практических занятий, учебники [1], [4], [5], [6] из списка рекомендуемой литературы |
Итого | 24 |
4. Технология преподавания
Технология преподавания классическая: доска, мел. При необходимости используется электронная почта для пересылки учебных материалов.
5. Средства оценки текущей успеваемости
Предусмотрены домашние задания, в конце семестра зачет.
6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Основная литература:
1. , , Чистяков размещения М.: Наука, 1976 г. 224 с.
2. Курс теории вероятностей.
8-е изд., испр. и доп.—М.: Едиториал УРСС, 2005.— 448 с.
3.Справочник по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных процессов. Под ред. - Киев, Наукова думка, 1984.
4. Математическая статистика (Учебное пособие)
Допущено учебно-методическим объединением по образованию в области прикладной математики и управления качеством в качестве учебного пособия
, , МИЭМ, М., 2011 - 118 с.
5. Стохастическое моделирование (Учебное пособие)
, МИЭМ, М., 2012 - 185 с.
6. Моделирование и статистический анализ выборок (Методичесмкая разработка)
, МИЭМ, М., 2011- 25 с.
7. Сходимость вероятностных мер 1977г.
10. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины:
Рекомендуемые образовательные технологии:
– проведение практических занятий;
– выполнение студентами домашней работы;
– проведение зачета.
Аудиторные занятия проводятся в форме практических занятий. Во время проведения практических занятий широко используются активные и интерактивные формы (обсуждение отдельных разделов дисциплины и методов решения задач, предложенных преподавателем; выбор вариантов задач в рамках конкретных тем домашних заданий).
Для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации по дисциплине могут использоваться: устный опрос (УО) в виде коллоквиума, теста; письменные работы (ПР) в виде контрольных работ (КР); зачет. Оценка на зачете может быть выставлена с учетом всех перечисленных форм контроля и промежуточной аттестации.
Самостоятельной работой студентов является выполнение домашних заданий, проработка материалов лекций, подготовка к домашней работе. Для успешного освоения дисциплины рекомендуется перед каждым практическим занятием повторить теоретический материал соответствующей темы, а после активной работы на занятии - выполнить полученные задания и изучить соответствующий раздел указанной в программе курса литературы.
Оценочные средства
1. Зачет. Сдача студентом экзамена оценивается по десятибальной системе в соответствии со знаниями и навыками, проявленными студентом на зачете.
11. Вопросник по курсу «Предельные теоремы теории вероятностей»
1. Неравенство Чебышева.
2. Теорема Маркова.
3. Теорема Чебышева.
4. Неравенство Колмогорова.
5. Теорема Хинчина.
6. Усиленный закон больших чисел.
7. Теорема Бернштейна (закон больших чисел).
8. Теорема (о сходимости последовательности случайных величин к 0 по вероятности) для обобщенного ЗБЧ.
9. Теорема (верхний закон повторного логарифма).
10. Неравенство Ляпунова.
11. Теорема Ляпунова.
12. Теорема о применимости нормального закона к схеме Пуассона.
13. Теорема Линдеберга (формулировка и план доказательства).
14. Теорема Феллера (формулировка и план доказательства).
15. Теорема Бернштейна (ЦПТ).
16. Некоторые свойства безгранично делимых законов.
17. Формула Хинчина – Леви.
18. Теорема Шварцшильда.
19. Теорема Крамера.
20. Предельный закон третьего типа с примерами.
21. Законы 1 – ого типа (двойной показательный закон) с примерами
22. Теорема Гнеденко о предельных распределениях (вспомогательные леммы).
12. Темы домашних заданий.
1. Неравенство Чебышева.
Теорема Маркова.
Теорема Чебышева.
Неравенство Колмогорова.
Теорема Хинчина.
2. Усиленный закон больших чисел.
Теорема Бернштейна (закон больших чисел).
Теорема (о сходимости последовательности случайных величин к 0 по вероятности) для обобщенного ЗБЧ.
Теорема (верхний закон повторного логарифма).
Неравенство Ляпунова.
3. Теорема Ляпунова.
Теорема о применимости нормального закона к схеме Пуассона.
Теорема Линдеберга (формулировка и план доказательства).
Теорема Феллера (формулировка и план доказательства).
4. Теорема Крамера.
Предельный закон третьего типа с примерами.
Законы 1 – ого типа (двойной показательный закон) с примерами
Теорема Гнеденко о предельных распределениях (вспомогательные леммы).
5. Теорема Бернштейна (ЦПТ).
Некоторые свойства безгранично делимых законов.
Формула Хинчина – Леви.
Теорема Шварцшильда.
Составитель: / Е. Р Хакимуллин/
Настоящая рабочая программа рассмотрена на заседании (методическом семинаре) кафедры «___»____________201__г. протокол № ___ и рекомендована к применению в учебном процессе.
Заведующий кафедрой Высшая математика /проф. /
Эксперт:
Председатель учебно-методической
комиссии факультета: /_________________/
Программа продлена на 20__/___ уч. год /_________________/
Подпись зав. каф.
Программа продлена на 20__/___ уч. год /_________________/
Подпись зав. каф.
Программа продлена на 20__/___ уч. год /_________________/
Подпись зав. каф.
Программа продлена на 20__/___ уч. год /_________________/
Подпись зав. каф.
Рабочая программа составлена в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению подготовки 010400 «прикладная математика и информатика (бакалавры)»
