Как найти значение модуля, используя его определение?
Определение модуля: |a| = a, если a ≥0
- a, если a <0
Примеры:
1) |5| = 5
2) |- 9| = 9
3) |2 - √2| = |√4 - √2| = √4 - √2 = 2 - √2, т. к. 2 - √2 > 0
4) |√2 - √3| = - (√2 - √3) = - √2 + √3 = √3 - √2, т. к. √2 - √3 < 0
5) √a2 = |a| = a, если а > 0
√a2 = |a| = - a, если а < 0
6) √(х – 3)2 = |x – 3|
если х > 3, то |x – 3| = x – 3, т. к. при х > 3, х – 3 > 0.
Научился раскрывать модуль, значит можно переходить к упрощению выражений вида:
1) а2 – 4 2) |x + 3|
|a| + 2 x2 – 9
1) а2 – 4
|a| + 2
Найдем нули подмодульного выражения,
т. е. а = 0.
Этот нуль разбивает числовую прямую на
2 промежутка: (-∞;0) и [0; +∞)
Раскроем модуль
при а ≥ 0
|a| = a, тогда выражение а2 – 4 ‗ а2 – 4 ‗ (а – 2)(а + 2) ‗ а – 2
|a| + 2 a + 2 a + 2
при а < 0
|a| = - a, тогда а2 – 4 ‗ а2 – 4 ‗ (а – 2)(а + 2) ‗ - (а + 2)
|a| + 2 - a + 2 - (a – 2)
Ответ: а – 2 при а ≥ 0
- (а + 2) при а < 0
2) |x + 3|
x2 – 9
Найдем нули подмодульного выражения. Для этого решим уравнение
х + 3 = 0 х = - 3
Отметим это число -3 на числовой прямой.
Оно делит числовую прямую на 2 промежутка: (- ∞;-3) и [-3; +∞)
Раскроем модуль
при х ≥ -3
|x + 3| = x + 3, т. к. x + 3 > 0
|x + 3| ‗ х + 3 ‗ 1
x2 – 9 (х – 3)(х + 3) х – 3
при х < -3
|x + 3| = - (x + 3), т. к. x + 3 < 0
|x + 3| ‗ - (х + 3) ‗ _ 1 ‗ 1
x2 – 9 (х – 3)(х + 3) х – 3 3 – х
= ал
Ответ: 1па при х ≥ -3
л х – 3
1 при х < -3
3 – х
ал
Рассмотрим более сложное задание.
Упростите выражение а2 - |a| +1 – a
|a – 1|
Решение:
Дробь определена при а ≠ 1.
1.Найдем нули подмодульных выражений: а = 0, а – 1 = 0
а = 1
2.Данные точки делят числовую ось на 3 промежутка:
( - ∞;0); [0; 1); [1; +∞)
3.Раскроем модули на каждом промежутке и поставим знаки «+» или «–» на каждом интервале (или промежутке)
I. а < 0 |a| = - a
|a – 1| = - (a – 1)
II. 0 ≤ a < 1 |a| = a
|a – 1| = - (a – 1)
III. a ≥ 1 |a| = a
|a – 1| = a – 1
4.Упростим дробь на каждом промежутке:
а < 0 а2 + a +1 – a ‗ а2 + 1 ‗ а2 + 1
- (a – 1) - a + 1 1 – а
0 ≤ a < 1 а2 - a +1 – a ‗ а2 – 2а + 1 ‗ (а – 1)2 ‗ а – 1 ‗ 1 – а
- (a – 1) - (a – 1) - (a – 1) -1
a ≥ 1 а2 - a +1 – a ‗ (а – 1)2 ‗ а – 1
a – 1 a – 1
Ответ: а2 + 1 при а < 0
1 – а
1 – а при 0 ≤ a < 1
а – 1 при a ≥ 1
