Тема. Логарифми та їх властивості. Логарифмічна функція
Мета:
· сформувати у студентів знання про логарифм, основні властивості логарифма, логарифмічної функції
· формувати вміння на практиці використовувати властивості логарифмів, розпізнавати графіки логарифмічної функції при різних основах логарифма.
· Виховувати акуратність записів, зацікавленість до вивчення теми
· Тип заняття: лекція
ХІД ЗАНЯТТЯ
І. Організаційний момент.
ІІ. Перевірка домашнього завдання.
ІІІ. Сприйняття й осмислення нового матеріалу.
Означення. Логарифмом числа 
за основою 
називають показник степеня, до якого треба піднести основу , щоб отримати число , і позначають 
.
Логарифмом числа за основою 
називають натуральним логарифмом і позначають 
.
Той факт, що число 
є логарифмом числа за основою записують так 
Якщо 
і 
, 
, то степінь 
існує при довільному дійсному значенню 
.
Наприклад з рівності 
випливає 
Завдання 1. Записати у вигляді логарифма
1) 
, 
,
2) 
, 
;
3) 
, 
.
Завдання 2. Знайти таке число, логарифм якого 3 за основою -
, 
, 
;
, 
, 
;
, 
, 
.
Завдання 3. Обчислити 1)
; 2) 
1) 
;
2) 
;
Основна логарифмічна тотожність 
Наприклад 
, 
; 
.
Основні властивості логарифмів
Теорема 1. Логарифм добутку двох додатних множників дорівнює сумі їх логарифмів
, , 
, 
, .
Теорема 2. Логарифм частки двох додатних чисел дорівнює різниці логарифмів діленого і дільника
, , , , .
Теорема 3. Логарифм степеня додатного числа дорівнює показнику степеня, помноженому на логарифм основи цього степеня
, , , .
Теорема 4. Логарифм кореня додатного числа дорівнює логарифму підкореневого виразу, поділеному на показник кореня
, , , .
Теорема 5. Якщо логарифми двох додатних чисел за тією самою основою рівні, то й самі числа рівні. І навпаки, якщо два додатні числа рівні, то і їх логарифми за тією самою основою рівні.
До основних властивостей логарифмів належать ще й такі:
1. 
;
2. 
;
3. 
, 
;
4. 
;
5. 
;
6. 
, 
; формула переходу до іншої основи, множник 
називають модулем переходу
7. якщо 
, то 
;
8. 
.
Зауваження 1.
1. Якщо , , числа і 
мають однаковий знак і 
, 
, то:
1. 
;
2. 
.
Зауваження 2. Якщо 
, 
- парні, , , і , то:
Зауваження 3.
1. 
, 2. 
.
Про логарифмувати одночлен означає виразити його логарифми через логарифм додатних чисел, що входять до його складу.
Означення. Перетворення, за допомогою якого за даним логарифмом числа (виразу) визначають саме число ( вираз) називають потенціюванням.
Означення.
Функцію, обернену до показникової 
, , називають логарифмічною функцією з основою і позначають 
.
Графік логарифмічної функції 
симетричний графіку показникової функції 
, , відносно прямої 
.
Властивості логарифмічної функції.
1. Область визначення: 
;
2. Область значень 
3. Монотонність: 
, зростає; 
спадає.
Властивості логарифмів чисел за основою 
Ø Якщо 
то і 
;
Ø Логарифми чисел, більших за одиницю додатні, логарифми чисел, менших за одиницю, від’ємні.
Ø Якщо число зростає необмежено, то і логарифм його зростає необмежено; якщо число, залишаючись додатним, прямує до нуля, то логарифм його стає від’ємним і як завгодно великим за модулем.
Властивості логарифмів чисел за основою 
Ø Якщо то 
;
Ø Логарифми чисел, більших за одиницю від’ємні, логарифми чисел, менших за одиницю, додатні.
Ø Якщо число зростає необмежено, то і логарифм його спадає необмежено; якщо число, залишаючись додатним, прямує до нуля, то його логарифм необмежено зростає
ІV. Первинне закріплення нового матеріалу
Завдання.
1. Використовуючи знак логарифма, записати показник степеня з рівностей:
1)
, ( 
)
2)
(
)
2. Обчислити
1)
; 2) 
, 3)
; 4)
5)
;
6)
3. Пропотенціювати вираз
1) 
; 2)
;
3)
; 4)
.
4. Знайти значення виразу
1)
; 2)
; 3)
5. Порівняти вирази
1)
і 
;
2) )
і 
Розв’язання.
1)
; 
; 
, звідси )
;
2) Перейдемо в обох виразах до основи показниковою функції 5
, тоді 
;
, тоді 
, звідси = .
Домашнє завдання.
№№ 000-206 (Шкіль М. І. Алгебра і початки аналізу 10кл)
1. Знайти значення виразу
1) 
=
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
2. Що більше
1)
чи 
; (>)
2) 
чи 
(>)
4. Пропотенціювати вираз
1) 
;
2) 
;
3) 
3) 
