Напрямок повороту

Напрямок повороту

Для того щоб поняття повороту було однозначно визначе­ним, необхідно домовитися, відносно якої точки цей поворот виконуватиметься. За точку відліку візьмемо початок коорди­нат (0; 0) на площині (мал. 138).

Почнемо подальші міркування з такої домовленості. Уявімо собі, що ми дивимося у точки (х1; у1) і (х2; у2) з початку коор­динат (0; 0). Для того щоб перевести погляд з точки (х1; у1) на точку (х2; у2), зображених на малюнку 138, а, необхідно повер­нутися проти годинникової стрілки, a на малюнку 138, б - за годинниковою стрілкою. Як дізнатися про те, куди необхідно повертатися при переході від точки (х1; у2) до точки (х2; у2), знаючи при цьому лише їхні координати на площині, ми зараз і з’ясуємо.

Розглянемо два прямокутники, що утворюються такими вершинами: (0; 0), (0; у1), (х1; y1), (х1; 0) та (0; 0), (0; у2), (х2; у2), (х2; 0) (мал. 139, а). Порівняємо їхні площі. Ці прямокутники мають спільну частину (0; 0), (0; у1), (х2; у1), (х2; 0). Тому їхні площі відрізняються лише площами прямокутників (0; у1), (0; у2),  (х2; у2), (х2; у1) та (х2; 0),  (х2; у1), (х1; у1), (х1;0). Як видно навіть з малюнка 139, а, площа першого зазначеного прямо­кутника більша за площу другого. З малюнка 139, б, де точки (х1; у1) і (х2; у2) поміняно місцями, можна зробити висновок, що ситуація з площами відповідних прямокутників так само змінилася на протилежну.

Як довести, що наведене вище припущення вірне? Для цього проведемо такий додатковий аналіз. Розглянемо точки (х1; у1) і (х2; у2), що лежать на прямій, яка проходить через точку (0; 0) (мал. 140, а). Прямокутник, що утворюється вершинами (0; 0), (0; у2), (х2; у2), (х2; 0), ділиться діагоналлю, яка проходить через точки (0; 0), (х2; у2), на два однакові прямокутні трикут­ники, що відповідно мають і однакову площу.

За такою самою ознакою площі верхніх двох трикутників і відповідних до них нижніх, зображених на малюнку 140, а тем­ним кольором, також однакові. Значить, однакові також і суми їхніх площ, а саме сумарна площа двох верхніх прямокутних трикутників, зафарбованих темним кольором, і сумарна площа двох нижніх прямокутних трикутників того самого кольору. Отже, якщо від рівних площ трикутників, що утворюються вер­шинами (0; 0), (0; у2), (х2; у2) і (0; 0), (х2; у2), (х2; 0), відняти рівновеликі частини, то залишаться так само рівновеликі фігу­ри. А такими фігурами є прямокутники, що утворюються вер­шинами (0; у1), (0; у2), (х1; у2), (х1; у1) і (х1, 0), (х1; у1), (х2; у1), (х2; 0).

Зрозуміло, що якщо до рівновеликих фігур додати одну і ту саму фігуру, то їх площа не зміниться. Таким чином, при дода­ванні до розглянутих вище прямокутників великого прямокут­ника, зображеного на малюнку 140, а темним кольором, ми не змінимо співвідношення між сумарними площами двох прямо­кутників, зафарбованих світлим кольором. Отже, площі прямо­кутників, визначених вершинами (0; 0), (0; у2), (х1; у2), (х1; 0) і (0,0), (0; у1), (х2; у1), (х2; 0), обчислюються відповідно за формулами: х1 • у2 та х2 • у1.

Для випадку розміщення точок (х1; у1) і (х2; у2), зображених на малюнку 140, б, наведене доведення також має місце.

Який висновок із усього сказаного вище можна зробити? А все попереднє пояснення зводилося до того, щоб констатувати факт: у разі, коли точки (х1; у1) і (х2; у2) знаходяться на одній прямій, що проведена з початку координат, то виконується умова х1у2 - х2у1 = 0.Тобто для того щоб з точки (х1; у1) побачи­ти точку (х2; у2), ніякого повороту виконувати не треба.

А як буде змінюватися значення виразу х1у2 - х2у1 у разі, ко­ли точки (х1; у1) і (х2; у2) не знаходитимуться на одній прямій, проведеній через початок координат? Розглянемо малюнок 141, а. На ньому зображена ситуація, коли точка (х2; у2) пе­ремістилася вище від прямої, що проходить через точки (0; 0) і (х1; у1). При цьому значення координати х2 не змінилося, а зна­чення координати у2 - збільшилося. Це означає, що відповідно і значення х2у1 не змінилося, а значення х1у2 - збільшилося. Тому знак виразу х1у2 - х2у1 змінився - він став додатним!

Чи справедливий зроблений висновок для всіх точок, що знаходяться вище від прямої, яка проходить через точки (0; 0) і (х1; у1)? Так, і це можна довести таким чином. Для будь-якої точки (х2; у2) півплощини, що знаходиться вище прямої, знай­деться точка (х2; у'2), що лежить на цій прямій (мал. 141, а) і для якої виконується умова х1у'2 - х2у1 = 0. Але оскільки за по­будовою у2 > у'2, то й х1у2 - х2у1 > 0.

Отже, підіб’ємо перший підсумок: коли при переході від точки (х1; у1) до точки (х2; у2) виконується поворот проти го­динникової стрілки, то має місце умова х1у2 - х2у1 > 0.

Тепер розглянемо випадок, коли точка (х2; у2) знаходиться нижче від прямої, утвореної точками (0; 0) і (х1; у1) (мал. 141, б). У цьому разі значення виразу х1у2 - х2у1 стає від’ємним, оскільки з малюнка 141, а видно, що значення координати у2 зменшилося, а решти координат не змінилося. Зазначимо, що  для будь-якої точки (х2; у2), що знаходиться нижче від прямої, проведеної через точки (0; 0) і (х1; у1), знайдеться єдина точка (х2; у'2), що лежить на цій прямій (мал. 141, б) і для якої вико­нується умова х1у'2 - х2у1 = 0. Оскільки за побудовою у2 < у'2, то і х1у2-х2у1 < 0.

Другий висновок, який є результатом наведених міркувань: коли при переході від точки (х1; у1) до точки (х2; у2) виконуєть­ся поворот за годинниковою стрілкою, то має місце умова х1у2 - х2у1 < 0.

Отриманий вираз х1у2 - х2у1 в математиці називається век­торним добутком векторів р1 і р2, які мають початком одну і ту саму точку (0; 0), а кінцями відповідно точки (х1; у1) і (х2; у2). Записується векторний добуток так:

р1 х р2=х1у2 - х2у1

Отже, знак векторного добутку векторів р1 і р2 так само, як і знак різниці площ відповідних прямокутників х1у2 і х2у1, ви­значає напрям повороту від точки (х1; у1) до точки (х2; у2).

А якщо дивитися у точки (х1; у1) і (х2; у2) не з початку ко­ординат (0; 0), а з будь-якої ін­шої довільної точки (мал. 142), то якою буде залежність? Ви­значимося з відповіддю на це запитання наступним чином.

Якщо перенести початок ко­ординат у точку (х0; у0), то за­дача зведеться до попередньої, тобто ми дивитимемося у за­дані точки з початку координат, а для цього випадку залежність уже визначена. Однак при такому перенесенні системи коорди­нат у точку (х0; у0) необхідно перерахувати і координати зада­них точок, оскільки відстань до них по осі Ох зменшиться на значення х0, а по осі Оу - на у0. Таким чином, у випадку, коли ми визначаємо напрям повороту від точки (х1; у1) до точки (х2; у2), спостерігаючи за цією дією з точки (х0; у0), то необхідно аналізу­вати знак виразу (х1 - х0)(у2 - у0) - (х2 - х0)(у1 - у0).

У векторному представленні це виглядатиме так:

Ця дуже важлива закономірність лежить в основі більшості задач обчислювальної геометрії.