Практическая работа №1.

Методы одномерной оптимизации.

Цель работы: Научиться проводить оптимизацию одномерных целевых функций методами последовательных приближений.

Ход работы.

Для заданной целевой функции найти оптимальное значение методом деления шага пополам. Для заданной целевой функции найти оптимальное значение методом золотого сечения. Сравнить полученные результаты, методы решения, сделать выводы.

Метод деления шага пополам.

Для этого метода на каждом шаге определяется диапазон [xн, xк], в котором находится оптимальное решение. Средняя точка диапазона рассчитывается по формуле

xср=(хн+хк)/2

и в ней определяется значение целевой функции. Расчет необходимо проводить в виде таблицы.

№ шага

хн

f(хн)

хк

f(хк)

xср

f(xср)

Точность eps

1

2

3

…

Метод золотого сечения.

Для этого метода на каждом шаге определяется диапазон [xн, xк], в котором находится оптимальное решение. Средняя точка диапазона рассчитывается по формуле

xср=0,382хн+0.618хк

и в ней определяется значение целевой функции. Расчет необходимо проводить в виде таблицы, условие останова – точность найденного решения

eps<(хк-хн)/2

Алгоритм[править | править исходный текст]

1.  На первой итерации заданный отрезок делится двумя симметричными относительно его центра точками и рассчитываются значения в этих точках.

2.  После чего тот из концов отрезка, к которому среди двух вновь поставленных точек ближе оказалась та, значение в которой максимально (для случая поиска минимума), отбрасывают.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

3.  На следующей итерации в силу показанного выше свойства золотого сечения уже надо искать всего одну новую точку.

4.  Процедура продолжается до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность.

Формализация[править | править исходный текст]

1.  Шаг 1. Задаются начальные границы отрезка a,\;b\! и точность \varepsilon\!.

2.  Шаг 2. Рассчитывают начальные точки деления: x_1 и значения в нихцелевой функции: y_1=f(x_1),\;y_2=f(x_2)\!.

·  Если y_1 \ge y_2\! (для поиска max изменить неравенство на y_1 \le y_2\!), то  a=x_1 \!

·  Иначе b=x_2\!.

3.  Шаг 3.

·  Если |b-a|<\varepsilon \!, то x=\frac{a+b}{2}\! и останов.

·  Иначе возврат к шагу 2.

№ шага

хн

f(хн)

хк

f(хк)

xср

f(xср)

Точность eps

1

2

3

…

Варианты задания.

№ варианта

Целевая функция

f(x)

Начальное значение

диапазона

хн

Конечное значение диапазона

хк

Точность

eps

1

f(x)=0,1x2-2x+10

0

20

0,1

2

5

25

0,5

3

3

30

0,02

4

2

22

0,7

5

1

26

0,4

6

f(x)=0,3x2-5x+21

0

20

0,1

7

5

25

0,5

8

3

30

0,02

9

2

22

0,7

10

1

26

0,4

11

f(x)=0,5x2-10x+50

0

20

0,1

12

5

25

0,5

13

3

30

0,02

14

2

22

0,7

15

1

26

0,4

16

f(x)=0,1x2-3x+23

0

20

0,1

17

5

25

0,5

18

3

30

0,02

19

2

22

0,7

20

1

26

0,4