Программа

Рекомендовано МССН

ПРОГРАММА

Наименование дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика

Рекомендуется для направления (ий) подготовки (специальности (ей))

"011200" - Физика, "011800"- Радиофизика______

(указываются код и наименования направления(ий)

подготовки (специальности (ей) и/или профилей (специализаций)

Квалификация (степень) выпускника _____бакалавр____

(указывается квалификация (степень) выпускника в соответствии с ФГОС)

1. Цели и задачи дисциплины: Курс носит теоретический и практический характер. Целью курса является:

·  Развитие профессиональной математической культуры студента.

·  Подготовка студента к практическому применению методов теории вероятностей и математической статистики к математическому моделированию технических и экономических процессов.

·  Подготовка студента к продолжению образования по выбранной специальности в магистратуре.

Задачей курса «Теория вероятностей и математическая статистика» является формирование у студентов базовых знаний в области теории вероятностей и математической статистики. Задачей курса является также обучение студентов использованию методов вероятностного анализа данных и построения прикладных вероятностных моделей. Это позволит им при необходимости применять полученные знания и умения при решении прикладных задач в различных областях, связанных с анализом вероятностных и статистических моделей. В результате обучения они получат умение и навыки правильно оценить сложность научно-исследовательских заданий на разработку прикладных моделей в различных областях, связанных с теорией вероятностей и математической статистикой; научатся моделировать статистический эксперимент; аргументировано выбирать метод решения поставленной задачи, а затем экономично и эффективно выполнять компьютерную обработку и анализ статистических данных; научатся решать задачи, связанные с оценкой характеристик производительности реальных производственных систем.

2. Место дисциплины в структуре ООП: Математический и естественнонаучный цикл Б2, базовая часть.

Требования к входным данным: знание математического анализа, алгебры и геометрии, математической логики, комбинаторных алгоритмов.

3. Требования к результатам освоения дисциплины:

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:

___ОК-8,ОК-10, ОК-12 __

(указываются в соответствии с ФГОС ВПО)

способностью к овладению базовыми знаниями в области математики и естественных наук, их использованию в профессиональной деятельности (ОК-8); способностью самостоятельно приобретать новые знания, используя современные образовательные и информационные технологии (ОК-10); способностью к правильному использованию общенаучной и специальной терминологии (ОК-12)

В результате изучения дисциплины студент должен:

Знать: базовые аспекты теории вероятностей и математической статистики.

Уметь: применять в научно-исследовательской и профессиональной деятельности базовые знания в области фундаментальной и прикладной математики и естественных наук; демонстрировать общенаучные базовые знания математики; приобретать новые научные знания, используя современные образовательные и информационные технологии; применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат, решать прикладные задачи статистического анализа и обработки числовых данных, самостоятельно изучать научную литературу в соответствие с профилем обучения, осуществлять целенаправленный поиск информации в сети Интернет, применять современные комплекты программ для решения прикладных задач в области математики и экономики, исследовать и разрабатывать математические модели по тематике проводимых научно-исследовательских проектов; анализировать и синтезировать информацию, полученную из любых источников

Владеть: фундаментальными знаниями в области фундаментальной математики и компьютерных наук; способностью решать задачи производственной и технологической деятельности на профессиональном уровне.

4. Объем дисциплины и виды учебной работы

Общая трудоемкость дисциплины составляет ______3____ зачетных единицы.

№	Вид учебной работы	Всего часов	семестры
5
1	Аудиторные занятия (всего)	68	68
	В том числе:	-	-
1.1	Лекции	34	34
1.2	Прочие занятия
	В том числе
1.2.1	Практические занятия (ПЗ)
1.2.2	Семинары (С)	34	34
1.2.3	Лабораторные работы (ЛР)
1.2.4	Из них в интерактивной форме (ИФ)	8	8
2.	Самостоятельная работа (всего)	40	40
	В том числе:	-	-
2.1	Курсовой проект (работа)
2.2	Расчетно-графические работы
2.3	Реферат
2.4	Подготовка и прохождение Промежуточной аттестации	27	27
2.5	Другие виды самостоятельной работы
2.5.1	Выполнение домашних заданий	13	13
3.	Общая трудоемкость (ак. час)	108	108
4.	Общая трудоёмкость (зачётных единиц)	3	3

5. Содержание дисциплины

5.1. Содержание разделов дисциплины

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Содержание раздела
1.	Вероятностное пространство.	Пространство элементарных исходов. События, действия над ними. Сигма-алгебра событий. Аксиоматическое определение вероятности. Вероятностное пространство.
2.	Классическая и геометрические вероятности	Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики. Гипергеометрическое распределение. Геометрическое определение вероятности. Задача о встрече. Задача Бюффона (бросание иглы).
3.	Условная вероятность. Независимость событий. Формула полной вероятности и Байеса.	Условная вероятность. Формула умножения вероятностей. Независимость событий попарно и в совокупности. Пример Бернштейна событий, независимых попарно, но зависимых в совокупности. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
4.	Схема Бернулли	Схема Бернулли, формула Бернулли. Теорема Пуассона. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Теорема Бернулли (закон больших чисел в форме Бернулли). Полиномиальная схема.
5.	Случайные величины и их распределения	Случайная величина. Функция распределения и ее свойства. Дискретная случайная величина. Ряд распределения. Биномиальное, пуассоновское, геометрическое распределения. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения и ее свойства. Равномерное, экспоненциальное, нормальное, гамма-распределения. Функция от случайной величины (вычисление распределений функции от случайной величины для различных случаев).
6.	Многомерные случайные величины и их свойства	Многомерная случайная величина (на примере 2-мерной). Совместная функция распределения и ее свойства. Дискретная двумерная случайная величина. Непрерывная двумерная случайная величина. Совместная плотность распределения и ее свойства. Многомерный нормальный закон. Условные распределения случайных величин. Независимые случайные величины. Функции от двумерной случайной величины (вычисление распределений). Формула свертки.
7.	Числовые характеристики случайных величин	Математическое ожидание случайной величины, его свойства. Дисперсия случайной величины, ее свойства. Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин, их свойства. Матрица ковариаций. Моменты высших порядков. Медиана, квантиль, мода, энтропия.
8.	Сходимость случайных величин	Сходимость случайных величин. Типы сходимости. Неравенство Чебышева. (Слабый) закон больших чисел для независимых одинаково распределенных случайных величин, его обобщения. Формулировка усиленного закона больших чисел Колмогорова для независимых одинаково распределенных случайных величин.
9.	Центральная предельная теорема	Характеристическая функция, ее свойства. Слабая сходимость функций распределения. Формула обращения (без доказательства). Теорема непрерывности (без доказательства). Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин.
10	Общие сведения математической статистики	Задачи математической статистики: оценки неизвестных параметров и проверка статистических гипотез; байесовский и небайесовский подходы; параметрические и непараметрические модели. Основные понятия математической статистики: генеральная совокупность; теоретическая функция распределения; выборка; вариационный и статистический ряды; эмпирическая функция распределения. Теорема Гливенко-Кантелли. Простейшие статистические преобразования: статистики; выборочные характеристики (в том числе дисперсии σ2 и s2). Основные распределения математической статистики: нормальное; хи-квадрат (Пирсона); t-распределение (Стьюдента); F-распределение; распределения Колмогорова и омега-квадрат.
11.	Оценки неизвестных параметров	Статистические оценки и их свойства: состоятельность; несмещенность; неравенство Рао-Крамера; эффективность. Метод моментов: описание метода; свойства оценки. Оценка неизвестного параметра биномиального распределения. Метод моментов: оценка неизвестного математического ожидания нормального распределения (2 случая). Метод моментов: оценка неизвестной дисперсии нормального распределения (2 случая). Метод моментов: оценка неизвестных параметров гамма-распределения. Метод максимального правдоподобия: описание метода; свойства оценки. Оценка неизвестного параметра биномиального распределения. Метод максимального правдоподобия: оценка неизвестного математического ожидания нормального распределения (2 случая). Метод максимального правдоподобия: оценка неизвестной дисперсии нормального распределения (2 случая). Доверительные интервалы. Построение доверительного интервала для параметра биномиального распределения. Построение доверительных интервалов для параметров нормального распределения.
12.	Проверка статистических гипотез	Статистическая гипотеза; основная и конкурирующая, простая, сложная, параметрическая и непараметрическая гипотезы. Критерий, допустимая и критическая области, статистика критерия, ошибки первого и второго рода, уровень значимости, размер, оперативная характеристика и мощность критерия. Простые гипотезы, критерий отношения правдоподобия (Неймана-Пирсона). Критерий согласия Колмогорова. Критерий согласия омега-квадрат. Критерий согласия хи-квадрат.

(Содержание указывается в дидактических единицах. По усмотрению разработчиков материал может излагаться не в форме таблицы)

5.2 Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами

№ п/п	Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин	№ № разделов данной дисциплины, необходимых для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1.	Статистическая физика					+		+				+
2.	Основы физики плазмы						+	+		+
3.	Квантовая теория	+				+		+

5.3. Разделы дисциплин и виды занятий

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Лекции	Практич. занятия и лабор. работы	СРС	Все-го час.
ПЗ/C	ЛР	Из них в ИФ
1.	Вероятностное пространство.	2	2			2	6
2.	Классическая и геометрические вероятности	2	2		1	2	6
3.	Условная вероятность. Независимость событий. Формула полной вероятности и Байеса.	4	4		1	2	10
4.	Схема Бернулли	2	2		1	2	6
5.	Случайные величины и их распределения	4	4		1	4	12
6.	Многомерные случайные величины и их свойства	4	4			4	12
7.	Числовые характеристики случайных величин	2	2		1	2	6
8.	Сходимость случайных величин	2	2			2	6
9.	Центральная предельная теорема	4	4			4	12
10.	Общие сведения математической статистики	4	4		1	4	12
11.	Оценки неизвестных параметров	2	2		1	6	10
12.	Проверка статистических гипотез	2	2		1	6	10
ИТОГО:	34	34		8	40	108

5.4 Описание интерактивных занятий

№ п/п	№ раздела дисциплины	Тема интерактивного занятия	Вид занятия	Трудоёмкость (час.)
1	2	Классическая и геометрические вероятности	Семинар в диалоговом режиме	1
2	3	Условная вероятность. Независимость событий. Формула полной вероятности и Байеса.	Коллоквиум	1
3	4	Схема Бернулли	Семинар в диалоговом режиме	1
4	5	Случайные величины и их распределения	Коллоквиум	1
5	7	Числовые характеристики случайных величин	Семинар в диалоговом режиме	1
6	10	Общие сведения математической статистики	Семинар в диалоговом режиме	1
7	11	Оценки неизвестных параметров	Семинар в диалоговом режиме	1
8	12	Проверка статистических гипотез	Семинар в диалоговом режиме	1

6. Лабораторный практикум не предусмотрен

7. Практические занятия (семинары)

№ п/п	№ раздела дисциплины	Тематика практических занятий (семинаров)	Трудо-емкость (час.)
1.	1	Пространство элементарных исходов. События, дей­ствия над ними. Сигма-алгебра событий. Аксиоматиче­ское определение вероятности. Вероятностное про­странство.	2
2.	2	Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики. Гипергеометрическое распределение.	1
3.	2	Геометрическое определение вероятности. Задача о встрече. Задача Бюффона (бросание иглы).	1
4.	3	Условная вероятность. Формула умножения вероятно­стей. Независимость событий попарно и в совокупно­сти. Пример Бернштейна.	2
5.	3	Формула полной вероятности. Формула Байеса.	2
6.	4	Схема Бернулли, формула Бернулли. Теорема Пуассо­на. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.	1
7.	4	Теорема Бернулли (закон больших чисел в форме Бернулли). Полиномиальная схема.	1
8.	5	Случайная величина. Функция распределения и ее свойства. Дискретная случайная величина. Ряд распре­деления.	1
9.	5	Непрерывная случайная величина. Плотность распре­деления и ее свойства.	2
10.	5	Функция от случайной величины	1
11.	6	Многомерная случайная величина (на примере 2-мерной). Совместная функция распределения и ее свойства. Дискретная двумерная случайная величина.	1
12.	6	Непрерывная двумерная случайная величина. Совмест­ная плотность распределения и ее свойства.	1
13.	6	Условные распределения случайных величин. Незави­симые случайные величины	1
14.	6	Функции от двумерной случайной величины (вычисле­ние распределений). Формула свертки.	1
15.	7	Математическое ожидание случайной величины, его свойства. Дисперсия случайной величины, ее свойства.	1
16.	7	Ковариация и коэффициент корреляции случайных ве­личин, их свойства. Матрица ковариаций. Моменты высших порядков. Медиана, квантиль, мода, энтропия.	1
17.	8	Неравенство Чебышева.	2
18.	9	Характеристическая функция, ее свойства. Централь­ная предельная теорема	4
19.	10	Основные понятия математической статистики: гене­ральная совокупность; теоретическая функция распре­деления; выборка; вариационный и статистический ряды; эмпирическая функция распределения. Простей­шие статистические преобразования: статистики; выбо­рочные характеристики	4
20.	11	Статистические оценки и их свойства: состоятель­ность; несмещенность; эффективность.	2
21.	11	Метод моментов, метод максимального правдоподобия, доверительные интервалы	1
22.	12	Проверка статистических гипотез: критерий отношения правдоподобия (Неймана-Пирсона), критерий согласия Колмогорова, критерий согласия омега-квадрат, крите­рий согласия хи-квадрат.	1
Итого	34

8. Примерная тематика курсовых проектов (работ)_____не предусмотрены планом__

_____________________________________________________________________________

9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:

а) основная литература:

, Печинкин вероятностей и математическая статистика. – М.: Физматлит. 2005. , Курс теории вероятностей. – М.: УРСС, 2001 (и последующие издания) , Курс теории вероятностей и математической статистики. – М.: Институт компьютерных исследований, 2004.

б) дополнительная литература:

Вентцель теории случайных процессов. – М.: Наука, 1996 , Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1987. Гмурман к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2004. , Вероятность — 1, 2, Задачи по теории вероятностей. – М.: МЦНМО, 2004, 2006. В. Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1,2. - М.: Либроком, 2010. , Основные понятия теории вероятностей. – М.: Фазис, 1998. М. Лоэв, Теория вероятностей. - М.: Издательство иностранной литературы, 1962. , , Введение в математическую статистику. - М.: УРСС, 2009. Robert B. Ash, Basic probability theory. – Dover publications inc., New York: Wiley, 2008.

в) программное обеспечение: не требуется

г) базы данных, информационно-справочные и поисковые системы:__не требуются

10. Материально-техническое обеспечение дисциплины:

Москва, ул. Орджоникидзе, корп. 4. Лекционные ауд. 260, 261,400, 485, 497, 495а. Ауд. для проведения семинарских занятий 385, 387, 389, 395, 397, 398. Графическая доска, раздаточный материал.

11. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины:

Учебным планом на изучение дисциплины отводится один семестр. Проводятся две контрольные работы, два теста, домашние задания состоят из 24 задач. По итогам первой контрольной работы и решенных первых 10 задач домашнего задания и первого теста проводится промежуточная аттестация. Сумма баллов, набранная по итогам промежуточной аттестации, и баллов за вторую и третью контрольные работы, второй тест и оставшуюся часть домашнего задания равняется общему количеству баллов, заработанных студентом в течение семестра. В конце семестра производится итоговый контроль знаний – экзамен и с учётом набранных баллов выставляется итоговая оценка.

Разработчики:

_ ст. преп._ прикладной информатики и теории вероятностей

Должность, название кафедры, инициалы, фамилия)

Зав. кафедрой прикладной информатики и теории вероятностей _________

название кафедры, инициалы, фамилия