Тема 9. Прямая в пространстве

Тема 9. Прямая в пространстве

Занятие 32. Уравнение прямой в пространстве.

Лекция 18.

Основные вопросы

1. Прямая как пересечение двух плоскостей.

2. Параметрические уравнения прямой.

3. Канонические уравнения прямой.

4. Угол между прямой и плоскостью.

5. Определение общих точек прямой и плоскости.

1. Прямая как пересечение двух плоскостей

Прямая линия в пространстве может быть определена любой парой плоскостей из бесчисленного множества плоскостей, пересекающихся по этой прямой. Пусть прямая линия в пространстве получена в результате пересечения двух плоскостей α и β (рис.9.1), поэтому аналитически она может быть задана системой двух уравнений первой степени вида

(1)

Рис. 9.1. Прямая как пересечение двух плоскостей

Плоскости могут пересечься лишь в том случае, когда их нормальные век-торы неколлинеарны.

Следовательно, система двух уравнений определит прямую в том, и только в том, случае, когда коэффициенты А1 В1 С1 не пропорциональны А2 В2 С2 .

Уравнения, составляющие систему (1) называются общими уравнения-ми прямой в пространстве.

2. Параметрические уравнения прямой

Прямая линия ℓ в пространстве (как и на плоскости) полностью оп-ределена, если задана точка и задан ненулевой вектор параллельный этой прямой.

Вектор , и в этом случае, называется направляющим вектором пря-мой, а точка М0 - начальной точкой .

Возьмем на прямой ℓ текущую точку М(х, у,z) (рис.9.2)

Рис. 9.2. Прямая в пространстве

Векторы и коллинеарны, поэтому при любом положе-нии точки М на прямой ℓ будет иметь место следующее равенство:

(2) где t - числовой множитель параметр, который может быть любым дейст-вительным числом в зависимости от положения точки М на прямой.

Если вектор совпадает по направлению с вектором то в противном случае .

Пусть радиус-вектор точки М, а - радиус-вектор точки М0 . Из рис. 9.2 очевидно, что , или

(3)

Уравнение (3) называется параметрическим уравнением прямой в векторной форме. Легко убедиться, что оно выглядит одинаково и в слу-чае плоскости, и в случае пространства.

При переходе к координатной форме уравнение (3) сводится к трем уравнениям

(4)

Уравнения (4) называются параметрическими уравнениями прямой в

пространстве.

3. Канонические уравнения прямой

Если из уравнений (4) исключить параметр t , для чего сначала надо решить каждое из этих уравнений относительно t :

, а затем приравнять правые части этих равенств

(5)

Уравнения (5) называются каноническими уравнениями прямой в про-странстве.

Здесь х, у,z – текущие координаты прямой; х0 ,у0 ,z0 - координаты за-данной точки; m,n,p – координаты направляющего вектора, или направля-ющие коэффициенты прямой.

Если направляющий вектор прямой, а α, β, углы, обра-зуемые этим вектором с осями 0х,0у,0z соответственно, то направляющие косинусы этого вектора называются косинусами прямой

(6)

Замечание 1. В канонических уравнениях прямой направляющие коэффициенты (m, n, p) все одновременно равняться нулю не могут, так как направляющий вектор отличен от нулевого, но некоторые из них могут быть равны нулю.

Равенство нулю какого-нибудь направляющего коэффициента означа-ет, что прямая перпендикулярна к той оси координат, которой соответству-ет нулевой коэффициент.

Пример 1. Составить параметрические и канонические уравнения прямой, проходящей через точки М1(2;1;5) и М2 (5;3;5).

Решение. 1) В качестве начальной точки возьмем М1 , а в качестве направляющего вектора

2) Параметрические уравнения прямой: (4)

3) Канонические уравнения прямой: (5)

Вывод: Данная прямая, проходящая через точку М1(2;1;5), перпенди-кулярна к оси 0z так как проекция на эту ось p = 0 .

Выражение понимают условно, оно означает, что z – 5 = 0 .

4. Угол между прямой и плоскостью

4.1. Угол между двумя прямыми

За угол между двумя прямыми примем угол между их направляющи-ми векторами и . Тогда

, (7) или в координатной форме

(8)

Если , то || , следовательно × = , или (9)

Если , то , следовательно , или . (10)

4.2. Угол между прямой и плоскостью

Определение 2. Углом между прямой и плоскостью будем назы-вать любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость (рис. 9.3)

Рис. 9.3. Угол между прямой и плоскостью

Пусть α :

Для вычисления угла φ определим угол между направляющими век-торов прямой и нормалью плоскости и по углу определим искомый угол φ.

Тогда,

или (7)

Если направляющий вектор прямой выбрать так, чтобы , и взять , то угол φ между прямой и плоскостью дополняет угол до . Следовательно, .

Поэтому окончательно получаем

(9)

Если , то и = 0 - условие параллельности прямой и плоскости.

Если , то и - условие перпендикулярности прямой и плоскости.

5. Определение общих точек прямой и плоскости

Для определения общих точек прямой, заданной, например, канониче-скими уравнениями (9) и плоскости, заданной общим уравнением α : , (10) необходимо решить совместно эти уравнения, считая х, у,z неизвестными.

Выражая

запишем уравнение прямой в парамет-рической форме :

(11)

Затем подставляя полученные значения х, у,z в общее уравнение плос-кости, получим

(12)

Возможны три случая:

1) . Тогда периметр

(13) имеет определенное значение. Подставив это значение в уравнения (11), получим единственную точку пересечения прямой с плоскостью.

2) , но . Тогда уравнение (12)не имеет решения. В этом случае прямая (9) параллельна плоскости (10). Следовательно, прямая не имеет ни одной общей точки с плоскостью.

3) и . Тогда любое значение t будет решением уравнения (12) . В этом случае в силу равенства и эта прямая полностью лежит в данной плоскости (10). Иначе говоря, в силу этих равенств вся прямая ле-жит в плоскости, проходя через точку , принадлежащей пло-скости α .

Пример 2. Составить параметрические уравнения прямой, проходя-щей через точку М0 (3;2;-5) и перпендикулярной к плос-кости: α : .

Найти точку пересечения прямой с плоскостью.

Решение. 1) Параметрические уравнения любой прямой, проходящей через точку М0 (3;2;-5), имеют вид

Так как искомая прямая должна быть перпендикулярна к плоскости α, то в качестве ее направляющего вектора возьмем нормальный вектор плоскости α, т. е. . Значит m = 4, n = -1, p = 3. Следователь-но, параметрические уравнения прямой

(11а)

2) Согласно равенству (13) определим значение параметра t

.

3) Подставив значение t в (11а), получим координаты точ-ки М пересечения прямой с плоскостью

В заключении можно отметить условие, при котором две прямые ле-жат в одной плоскости или они пересекаются.

Если прямые

лежат в одной плоскости, то

Это есть условие компланарности двух прямых.

Если величины m1, n1, p1 не пропорциональны величинам m2 , n2 , p2 то указанное соотношение является необходимым и достаточным условием пересечения двух прямых в пространстве.