Метод взаимозависимых величин

ОТКРЫТЫЙ УРОК

ПО АЛГЕБРЕ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 9-10 КЛАССОВ

ПО ТЕМЕ «МЕТОД ВЗАИМОЗАВИСИМЫХ ВЕЛИЧИН»

Выполнила учитель математики

МЕТОД ВЗАИМОЗАВИСИМЫХ ВЕЛИЧИН

Цели и задачи:

При решении задач на составление уравнений мо­жет возникнуть ситуация, когда число уравнений меньше числа переменных или полученная система уравнений требует нестандартных подходов к ее ре­шению. Во многих из таких случаев может помочь метод решения, изложенный в этой статье. Чтобы показать метод в действии, использованы задачи из популярных в настоящее время сборников конкурс­ных заданий.

На данном уроке рассматриваются не стандартные решения систем уравнений.

Закрепляются полученные знания и развивается нестандартное мышление учащихся.

Задача 1. Дана геометрическая прогрессия {bn} со знаменателем q. Найти q, если b1b9=2304 и b4+ b6=96. [9]

Решение. Выразим члены профессии b9, b4 и b6 через b1 и q. Для удобства первый член прогрес­сии обозначим просто b. Тогда получим: b4=bq3, b6=bq5, b9=bq8, где b≠0 и q≠0. Из условия получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Поделив второе уравнение на первое (bq4≠0), по­лучим два уравнения:

Ответ: 1; -1.

Замечание. Системы уравнений, получа­ющиеся при решении задач с геометрической про­грессией, будем называть системами уравнений с разделяющимися переменными. При делении двух уравнений такой системы можно избавиться от од­ной переменной.

Задача 2. Решить систему уравнений:

Решение. Оба уравнения — однородные, но их свободные члены не равны нулю. Обычно такие системы решают методом уравнивания сво­бодных членов с последующим алгебраическим сло­жением полученных уравнений.

Решим эту систему уравнений иначе. Хотя пере­менные не разделяются, но сделать это можно с помощью замены у=кх (х≠0,у≠0). Получим:

Последняя система имеет разделяющиеся пере­менные. Поделим одно из уравнений на другое:

При к=-1/2 приходим к уравнению х2=4. Отсю­да х=±2 и тогда, у=&1.

При к=2/3 получаем х2=-18/13, т. е. исходная система не имеет решений.

Ответ: (2;-1), (-2;1).

Решение систем уравнений в двух предыдущих задачах приводит к мысли о возможности задания зависимости между переменными при решении раз­личных текстовых задач уже на стадии введения пе­ременных. Так, вместо того, чтобы вводить пере­менные х и у, предлагается использовать линейную зависимость между х и у, т. е. записывать вводимые переменные как х и кх.

Вместо введения переменных х, у и z предлага­ются два различных способа введения переменных: попарная линейная зависимость х, кх и тх и цик­лическая линейная зависимость х , кх и ткх.

Совершенно ясно, что могут быть использованы и другие подобные комбинации, например, две пары линейной зависимости: х, кх и у, ту. Такое введение переменных будем называть ме­тодом взаимозависимых величин (для сокращения ВВ - метод).Совершенно ясно, что применение этого метода ограничено задачами, в которых одна искомая величина во столько-то раз меньше или больше других величин, о которых идет речь.

Применение ВВ - метода в сложных задачах или в задачах, где число неизвестных больше числа урав­нений, дает видимое преимущество. Ниже рассмот­рено решение нескольких конкретных задач с помо­щью этого метода.

Задача 3. Из пункта А в пункт В выехал гру­зовой автомобиль. Через час из А в В выехал легко­вой автомобиль, который прибыл в В одновременно с грузовым автомобилем. Если бы эти автомобили выехали одновременно из А и В навстречу друг другу, то они встретились бы через 1 ч 12 мин после выезда. Сколько времени провел в пути от А до В грузовой автомобиль? [6]

Решение. Пусть скорость грузового авто­мобиля х км/ч и ему необходимо t ч для преодоле­ния расстояния от A до В, т. е. tx км. Легковая маши­на вышла на час позже, поэтому она была в пути (t-1 )ч и двигалась со скоростью tx/(t -1) км/ч.

Автомобили двигались навстречу друг другу 6/5 ч. Грузовая машина до встречи проходит рассто­яние 6х/5 км, легковая — 6tx/5(t -1) км, а вместе они проходят весь путь. Получаем одно уравнение с двумя неизвестными:

Разделив обе части этого уравнения на х /5 и выпол­нив необходимые преобразования, получим:

5t2-17t+6=0, отсюда t=3 и t=0,4.

Второй корень не удовлетворяет условию t -1 >0.

Ответ: 3ч.

Задача 4. От пристани А к пристани В про­тив течения реки отошел катер, собственная ско­рость которого в 7раз больше скорости течения реки. Одновременно навстречу ему от пристани В, расстояние от которой до А по реке равно 20км, отошла лодка. На каком расстоянии от В произошла встреча катера с лодкой, если известно, что через полчаса после начала движения лодке оставалось проплыть 4км до места встречи и что катер затратил на путь до встречи с лодкой на 20 мин больше, чем на путь от места встречи до пункта В? [2]

Решение. Пусть скорость течения реки х км/ч, тогда собственная скорость катера 7х км/ч. Пусть собственная скорость лодки кх км/ч. Ско­рость катера против течения равна 6х км/ч (7х-х). Скорость лодки по течению равна (кх +х) км/ч. Лод­ка и катер движутся навстречу друг другу, поэтому их встреча произойдет через

За это время катер прошел расстояние

и ему осталось еще пройти до В:

Из условия, что катер затратил до встречи на 1/3 ч больше времени, чем после встречи, получаем пер­вое уравнение системы:

Из условия, что лодка за полчаса не доплыла до места встречи 4км, получаем второе уравнение сис­темы:

Итак, система имеет вид

Разделив первое уравнение системы на второе, по­лучим:

16k-8=(к +1)(25-5к) => 5k2-4 k:-33=0 => k =3, k=-2,2.

Ясно, что отрицательное значение к не подходит, так как из условия следует, что кх> 0, поскольку речь идет об абсолютных значениях скоростей. Итак, к= 3. Тогда лодка до встречи с катером прошла 8 км

Ответ: 8 км.

Замечание. Решая похожие задачи на дви­жение, в которых необходимо найти расстояние, пройденное до встречи, мы получаем выражение, зависящее от скоростей движущихся объектов, и не обращаем внимание на то, что это расстояние на самом деле зависит только от величины отношения скоростей. В этой задаче введены скорости х и кх, поэтому сразу видно, что расстояние до встречи за­висит только от коэффициента к: 120/(7+к).

После такого замечания напрашивается задача на нахождение коэффициента к.

Задача 5. Катер обеспечивает регулярный перевоз пассажиров между пунктам А и В, располо­женными вдоль реки. Если бы собственная скорость катера возросла в 2 раза, то путь от А до В и обратно потребовал бы в 5 раз меньше того времени, которое катер обычно затрачивает на путь из А в В и обратно.

Во сколько раз собственная скорость катера больше скорости течения реки? [ 1 ]

Решение. Пусть скорость течения реки х км/ч (размерностей величин в задаче нет, поэтому выбираем сами), а собственная скорость катера кх км/ч, т. е. к — отношение скоростей, которое необходимо определить. Пусть расстояние между пунктами А и B равно s км. Скорость катера по тече­нию (кх+х) км/ч, против течения (кх-х) км/ч. Вре­мя движения туда и обратно равно: ч. При увеличенной собственной скорости время движения туда и обратно равно: ч, что в 5 раз меньше обычного времени. Получаем уравнение с тремя неизвестны­ми, в которых по смыслу задачи s≠0, х≠0, к≠0, к≠1, к≠ -1,к≠1/2,к≠1/2:

Решение этого уравнения не вызывает трудностей:

Ответ:.

Замечание. Хочется обратить внимание на кажущуюся естественной зависимость: слож­ность задачи определяется способом решения этой задачи, а не самой задачей. Если найден более про­стой способ решения, значит задача становится про­ще. Какой-то парадокс: сложность задачи опреде­ляется уровнем того, кто ее решает. Для развития этой мысли предлагаем вниманию читателей задачу из известного своей сложностью сборника [8], кото­рая в нем помещена в группе В (задача повышенной сложности).

Задача 6. Два велосипедиста выехали одно­временно из пунктов А и В навстречу друг другу. Велосипедист, ехавший из А, прибыл в В через 4ч после встречи, а велосипедист, ехавший из В, при­был в А через 9ч после встречи. Сколько часов был в пути каждый велосипедист?

Решение. Пусть скорость велосипедиста, выехавшего из A, равна х км/ч, тогда после встречи он проехал расстояние 4х км. Скорость второго велосипедиста кх км/ч и после встречи он проехал путь, равный 9кх км. Так как после встречи вело­сипедисты "обменялись" расстояниями, можно оп­ределить время движения каждого до встречи. У велосипедиста, выехавшего из А, это время равно 9кх/х=9к (ч), у второго велосипедиста время дви­жения до встречи равно 4х/кх=4/к (ч). Велосипе­дисты выехали одновременно, поэтому время движе­ния до встречи одного равно времени движения до встречи другого. Последнее соображение дает возмож­ность составить уравнение с одним неизвестным:

Отрицательное значение к не удовлетворяет усло­вию задачи.

Теперь находим время движения велосипедистов до встречи: 9к=9 *2/3=6 (ч). Тогда один из них был в пути 10ч (6+4), а другой 15ч (6+9).

Ответ: 10ч; 15ч.

Замечание. Оказалось, что задачу можно предлагать ученикам VIII класса, если они знакомы с Я5-методом.

Задача 7. Две бригады работали вместе 15 дней. Затем к ним присоединилась третья бригада, и через 5 дней после этого вся работа была закончена. Известно, что вторая бригада вырабатывает за день на 20% больше первой. Вторая и третья бригады вместе могли бы выполнить всю работу за 9/10 того времени, которое требуется для ее выполнения пер­вой и третьей бригадами вместе. За какое время могли бы выполнить всю работу все три бригады, работая совместно? [3]

Решение. Пусть производительность пер­вой бригады х (чего-то за день). Производитель­ность второй бригады на 20% больше, т. е. 120% от производительности первой бригады, что составля­ет 1,2x. Пусть производительность третьей бригады кх.

При решении задач иногда удобно ввести вспомога­тельную переменную, которая помогает определить какие-то величины, а далее надобность в этой пере­менной исчезает. В качестве такой переменной возь­мем объем всей работы А, которую можно найти из условия первоначальной работы двух бригад в тече­ние 15 дней и совместной работы всех бригад в тече­ние 5 дней:

А = 15(х+1,2х)+5(х+1,2х+кх) =44х+5кх =х(44+5 к).

Время выполнения всей работы второй и третьей бригадами вместе равно

а первой и третьей бригадами вместе

Получаем уравнение с одной переменной:

В нем 44+5к≠0, так как в противном случае рабо­та равна нулю. Из последнего уравнения получаем 9(1,2+к)=10(1+k) => k=0,8.

Теперь можно найти время выполнения всей ра­боты тремя бригадами:

Ответ: 16 дней.

Замечание. Задача опять не потребовала ничего, что изучается вХ—XI классах — ни сложных уравнений, ни систем уравнений. Математический аппарат ее решения не выходит за рамки VIIIкласса.