Вариант 0
Даны вершины треугольника ABC: A(17,-4), B(-7,-11), C(-11,-8). Найти:а) длину и уравнение стороны BC,
б) длину и уравнение высоты AD,
в) уравнение медианы BM,
г) уравнение биссектрисы BL.
Найти расстояние от точки B(11,1,12) до прямой l:
. Повторить материал, указанный ниже. Примеры смотреть ниже. Задача 1.
а) 
тогда 
.
Направляющий вектор прямой BC 
. Каноническое уравнение прямой BC (по точке B и направляющему вектору): 
. Преобразуем его, чтобы записать общее уравнение прямой. 
.
Ответ: длина BC равна 5, уравнение ВС: 
.
б) Длина высоты AD – это расстояние от точки A до прямой BC.
Если точка 
и прямая l:
. Тогда расстояние от точки M до прямой l находится по формуле: 
. В нашем случае 
.
Вектор нормали прямой AD 
и точка A(17,-4). Уравнение прямой AD: 
.
Ответ: длина AD равна 20, уравнение AD: 
.
в) Точка M – середина AC. Тогда ее координаты 
, т. е. 
.
Мы знаем координаты двух точек прямой можем записать ее уравнение BM: 
.
Ответ: уравнение медианы BM: 
.
г) 
.
Пусть 
. Т. к. 
, то вектор 
является направляющим вектором биссектрисы. Найдем 
.
Длина направляющего вектора нам не важна, поэтому 
. Теперь мы можем написать каноническое уравнение биссектрисы: 
.
Ответ: уравнение биссектрисы BL: 
.
Задача 2.
Найти расстояние от точки B(11,1,12) до прямой l: .
Решение: точка A(1,-1,2) принадлежит прямой. Направляющий вектор прямой 
.
На векторах 
и 
(с началом в точке А) можно построить параллелограмм. Высота параллелограмма является расстоянием от точки до прямой.
Площадь параллелограмма находится с помощью векторного произведения 
.
.
. 
.
Тогда 
.
Задача 3.
1) Условие перпендикулярности прямой и плоскости – 
.
2) Условие параллельности прямой и плоскости: 
.
3) Условие перпендикулярности плоскостей: 
.
4) Условие параллельности плоскостей: 
.
5) Условие перпендикулярности вектора и плоскости – .
6) Условие параллельности вектора и плоскости: .
7) Условие перпендикулярности прямых на плоскости: 
.
8) Условие параллельности прямых на плоскости: 
.
Задача 4.
Вычислить:
.
Упростить:
