Лабораторная работа_8
Линейная оптимизационная задача
В данном разделе рассмотрим, как с помощью средства поиска решений решаются линейные оптимизационные задачи на примере трех типичных ситуаций: планирование производства, составление сплавов или смесей и планирование штатного расписания.
Планирование производства красок
Рассмотрим следующую задачу планирования производства. Небольшая фабрика выпускает два типа красок: для внутренних (I) и наружных (Е) работ. Продукция обоих видов поступает в оптовую продажу. Для производства красок используется два исходных продукта А и В. максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн, соответственно. Расходы продуктов А и В на 1 т соответствующих красок приведены в табл.5.1.
Таблица 1. Исходные данные задачи о планировании производства красок
Исходный продукт | Расход исходных продуктов на тонну краски, т | Максимально возможный запас, т | |
краска Е | краска 1 | ||
А | 1 | 2 | 6 |
В | 2 | 1 | 8 |
Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более чем 1 т. кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3000 руб. для краски Е и 2000 руб. для краски I. Какое количество краски каждого вида производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?
Для решения этой задачи необходимо построит математическую модель. Процесс построения модели можно начать с ответа на следующие три вопроса:
1. Для определения каких величин строится модель (т. е. каковы переменные модели)?
2. В чем состоит цель, для достижения которой из множества всех допустимых значений переменных выбираются оптимальные?
3. Каким ограничениям должны удовлетворять неизвестные?
В нашем случае фабрике необходимо спланировать объем производства красок так6 чтобы максимизировать прибыль. Поэтому переменными являются: хI – суточный объем производства краски I и хЕ – суточный объем производства краски Е.
Суммарная суточная прибыль от производства хI краски I и хЕ краски Е равна 
Целью фабрики является определение среди всех допустимых значений хЕ и I таких, которые максимизируют суммарную прибыль, т. е. целевую функцию 
.
Перейдем к ограничениям, которые налагаются на хЕ и I. объем производства красок не может быть отрицательным, следовательно 
Расход исходного продукта для производства обоих видов красок не может превосходить максимально возможный запас данного продукта, следовательно:
Кроме того, ограничения на величину спроса на краски таковы:
Таким образом, математическая модель данной имеет следующий вид: максимизировать
при следующих ограничениях:
Заметим, что данная модель является линейной, т. к. целевая функция и ограничения линейно зависят от переменных.
Решим данную задачу с помощью команды Сервис, Поиск решения (Tools Solver). Средство поиска решений является одной из надстроек Excel. Если в меню Сервис (Tools) отсутствует команда Поиск решения (Solver), то для ее установки необходимо выполнить команду Сервис, Надстройки, Поиск решения (Tools, Add-ins, Solver)
Отведем ячейки А3 В3 под значения переменных хЕ и I (рис.6).
В ячейку С4 введем функцию цели
= 3000 * А3 + 2000 * В3
в ячейки А7:А10 введем левые части ограничений.
= А3 + 2 * В3
= 2 * А3 + В3
= В3 - А3
= В3
а в ячейки В7:В10 – правые части ограничений.
 |
После этого выберем Сервис, Поиск решения (Tools Solver) и заполним открывшееся диалоговое окно Поиск решения (Solver), как показано на рис.7. (подробно о работе с этим окном будет рассказано в следующем разделе).
Рис.7. Диалоговое окно Поиск решения задачи о планировании производства красок
 |
После нажатия кнопки Выполнить (Solve) открывается окно Результаты поиска решения (Solver Results), которое сообщает, что решение найдено (рис.8).
Рис.8. Диалоговое окно Результаты поиска решения
Результаты расчета нашей задачи (оптимальный план производства и соответствующая ему прибыль) представлены на рис.9. Как видно из рисунка оптимальным является производство 
т краски Е и 
т краски I в сутки. Это объем производства принесет фабрике
тыс. руб. прибыли.
Рис. 9. Результаты расчета с помощью средства поиска решений для задачи планирования производства красок.
