Краткий справочник
по теме «Модуль»
Подготовила ученица 9 класса
Кужбальской средней общеобразовательной школы
Никифорова Алёна
Модуль – одна из самых интересных и многогранных
тем в математике.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Модулем числа а называется само число а,
если оно положительно или равно нулю, и
–а если оно отрицательное.
Это можно обозначить так:
a, если a > 0,
| a | =
-a, если a < 0.
Свойства модуля:
1) a2 = | a |2. 2) |-a| = | a |.
3) | a – b | = | b – a |. 4) | ab | = | a | · | b |.
a | a |
5) b = | b |
Геометрический смысл модуля
Если точка А на числовой оси имеет координату а, то расстояние от А до О равно│а│
Каждому действительному числу можно поставить в соответствие точку числовой прямой, тогда эта точка будет геометрическим изображением данного числа.
Каждой точке числовой прямой соответствует её расстояние от начала отсчёта или длина отрезка, начало которого в точке начала отсчёта, а конец – в данной точке. Это расстояние или длина отрезка рассматривается всегда как величина неотрицательная. Таким образом, геометрическая интерпретация модуля действительного числа а, будет рассматриваться от начала отсчёта до точки, изображающей число.
Расстояние между точками А(а) и В(b) на прямой равно │а-b│.
| |
| |
 | |
 | |
 |
Преобразование выражений.
a2 – 4
| a | + 2
Решение. Дробь определена для любых значений а.
a2 – 4 a2 – 4
При а > 0; | a | + 2 = a + 2 = a – 2.
a2 – 4 a2 – 4
При а < 0; | a | + 2 = - a + 2 = -(a + 2) = - а – 2.
Возможно другое решение:
a2 – 4 |a|2–22
| a | + 2 = a + 2 = |a| – 2.
Ответ: при а Î [0; ∞) a – 2;
при a Î [-∞; 0) –(a + 2).
Решение уравнений, содержащих модуль.
 |
|2x - 3| = 3 - 2x
Решение.
|2х - 3| = 3 - 2х
+ |2x - 3| - |2x - 3|
2х - 3 = 3 - 2х 3 - 2х = 3 - 2х
4х = 6 3 - 2х = 3 - 2х
х = 6 : 4 3 = 3
х = 1,5
х -любое число
Ответ: х<1,5.
|5x - 13| - |6 - 5x| = 7
Решение.
Для решения мы будем использовать метод интервалов.
Для этого мы каждый модуль в уравнении представим как отдельное уравнение:
|5x - 13| - |6 - 5x| = 7
5х - 13 = 0 6 - 5х = 0
х = 2,6 х = 1,2
Теперь поставим значения х на числовую ось:
0 1,2 2,6 х
 |
Теперь выберем интервал и подставим любое число из этого интервала в каждый модуль уравнения |5x - 13| - |6 - - 5x| = 7 на место х:
1) х
(-¥;1,2); Тогда х = 0,
5(0) - 13 = - 13 6 - 5(0) = 6
В первом модуле получился отрицательный ответ, а во втором положительный. Поэтому перепишем первый модуль с минусом, а второй с плюсом.
- (5х - 13) - (6 - 5х) = 7
- 5х + 5х + 13 - 6 = 7
7=7
Поэтому х - это любое число из этого интервала.
Теперь возьмём 2-й интервал и проделаем то же самое, что и с 1-м модулем.
2) х [1,2; 2,6); х = 2
- (5х - 13) + (6 - 5х) = 7
-5х + 12 - 5х =0
10х = 12
х = 1,2
3) х [2,6;+¥); х = 4
(5х - 13) + (6 - 5х) = 7
5х - 5х - 13 + 6 - 7 = 0
0 = 14
следовательно, в этом уравнении нет значений х.
Обобщим ответы и получим. Ответ: х £ 1,2.
x2 - 6|x| - 2 = 0
Решение.
x2 - 6|x| - 2 = 0
х2 + 6х - 2 = 0 х2 - 6х - 2 = 0
D = 36 + 8 D = 36 + 8
D = 44 D = 44
-6 ± Ö44 6 ± Ö44
x = 2 x = 2
±6 ± Ö44
Ответ: х = 2
2х2 + ½х½- 1 = 0
Решение.
Решим это уравнение графически:
у у=2х2
2х2 = 1 - ½х½
Абсциссы точек пересечения графи-
ков и есть корни уравнения. х
х=-0,5 х=0,5
у=1-½х½
Ответ: х=+0,5.
3|х + 2| + х2 + 6х + 2 = 0
Решение:
Решим это уравнение всеми методами:
Метод подстановки (по определению абсолютной величины).
3|х + 2| + х2 + 6х + 2 = 0
 |
 |
3х + 6 = - х2 – 6х – 2 -3х – 6 = - х2 – 6х - 2
х2 + 9х + 8 = 0 х2 + 3х – 4 = 0
х = -8; -1 х = -4; 1
Если мы подставим корни в уравнение, то увидим, что -8 и 1 не являются решением уравнения. Ответ: х = -1; -4.
Графический метод.
|
Решение:
|
у = 3|х + 2|
у = -(х2 + 6х + 2) = -(х2 + 2 × 3х
+ 2 + 9 – 9) = -(х + 3)2 + 7.
|
|
|
Метод интервалов.
3|х + 2| + х2 + 6х + 2 = 0
Решение:
х + 2 = 0
х = -2.
хÎ[-2; +¥); хÎ(-¥; -2)
3х + 6 = - х2 – 6х – 2 -3х - 6 = - х2 – 6х – 2
|
|
х = -8; -1 х = 1; -4
Но корни -8 и 1 не принадлежат тем интервалам, из которых они были взяты. Ответ: х = -1;-4.
Решение неравенств
 |
|x – 3| < -2
Так как число под модулем не может быть меньше нуля, то:
Ответ: решений нет.
|x – 4| > 0
Так как число под модулем не может быть меньше нуля, то
х (-∞; +∞).
Ответ: х (-∞; +∞).
|x – 5| > 0
а) х < 5 б) х > 5
- х + 5 > 0 х – 5 > 0
х (-∞; 5) х (5; +∞)
Ответ: х (-¥;5)U(5;+∞).
|x – 1| > 2x – 4
а) х < 1 б) х > 1
- х + 1 – 2х + 4 > 0 х – 1 – 2x + 4 > 0
х (-∞; 5/3) х (-∞; 3)
Ответ: х (-∞; 3).
x + |х + 8| < 0
а) х > -8 б) х < -8
2х + 8 < 0 -8 < 0
х(-∞; -4) х (-∞;+¥)
Ответ: хÎ(-∞; -4).
Построение графиков функций
Для построения графика функции y = f(|x|) на основании модуля имеем:
f(x), если х>0,
y = f(|x|) =
f(-x),если х<0.
|
 |
Следовательно, график функции у = f(| х |) состоит из двух графиков: y = f( x ) – в правой полуплоскости, y = f( - x) – в левой полуплоскости.
Например:
x2 – 3x + 2, если x > 0.
y = x2 – 3| x | + 2 =
x2 + 3x + 2, если x < 0.
Функция y = f(| x |) – чётная, поэтому для построения её графика достаточно построить график функции у = f(x) для всех х > 0 из области определения и отразить полученную часть симметрично оси координат.
Перейдём к графику y = |f(x)|:
f(x), если f(x) > 0,
y = |f(x)| =
- f(x), если f(x) < 0.
|
Для построения графика функции y = |f(x)| для всех х из области определения, надо ту часть графика функции y = f(x), которая располагается ниже оси абсцисс (f(x) < 0), отразить симметрично этой оси.
Таким образом, график функции
y = |f(x)| расположен только в верхней
полуплоскости.
Пример: y = |x2 – 4|.
Строим график функции
y = x2 – 4.
 |
