9 Теория достаточных условий оптимальности Кротова

9 ТЕОРИЯ ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ КРОТОВА

9.1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Пусть требуется найти элемент минимума (t)=((t),(t)) функционала

(9.1)

на множестве X пар вектор-функций (y(t), u(t)), удовлетворяющих связям

( 9.2)

и ограничениям

, (9.3)

. (9.4)

Здесь:

-  , где - фазовые координаты, непрерывные и кусочно-дифференцируемые на функции,

-  - управления, кусочно-непрерывные на функции,

-  (9.2) есть система К обыкновенных дифференциальных уравнений, записанная в нормальной форме Коши, где - -мерная вектор-функции, непрерывная и дифференцируема относительно своих аргументов,

-  ограничения (9.3) есть символическая запись условий, накладываемых на управления,

-  ограничения (9.4) есть символическая запись условий, накладываемых на граничные значения фазовых координат. В частном случае задачи с закрепленными концами и - точки -мерного пространства, и (9.4) являются граничными условиями к системе дифференциальных уравнений (9.2):

где и некоторые векторы.

К указанной постановке должна быть сведена любая задача, которую предлагается решать методами, изложенными в настоящем разделе.

Пример 1.

Здесь подынтегральное выражение содержит производную функции, что не допускается функционалом вида (9.1). Для записи задачи в стандартной форме необходимо исключить эту производную, используя первое из дифференциальных уравнений. Тогда функционал примет стандартный вид

Пример 2.

Чтобы записать дифференциальные связи в стандартной форме (9.2), вводим новые переменные:

Тогда связи запишутся в нормальной форме Коши:

В полученной задаче оптимального управления имеются три фазовые координаты (функции которые входят в постановку задачи со своими производными) и одно управление (функция , производная которой не фигурирует в постановке задачи).

9.2 ТЕОРЕМА КРОТОВА

Теорема (достаточные условия минимума). Для того, чтобы ,) была элементом минимума функционала в задаче оптимального управления, достаточно существования такой непрерывной и дифференцируемой функции что значения вектор-функций (t),(t) при каждом являются точками максимума функции

(9.5)

при условии (9.3), т. е.

,) (9.6)

Граничные значения (, вектор-функции являются точками минимума функции

(9.7)

при условии (9.4), т. е.

. (9.8)

В задаче с закрепленными концами однозначно заданы, поэтому второе условие теоремы не используется.

Доказательство. Используем лемму о достаточном условии оптимальности. Рассмотрим множество N пар вектор-функций (, где - k-мерная, а -мерная вектор-функции, компоненты которых кусочно-непрерывны на , значения удовлетворяют (9.3), а значения в точках и - соотношениям (9.4). Очевидно, что , так как непрерывные и кусочно-дифференцируемые функции входят в класс кусочно-непрерывных, а пары, удовлетворяющие (9.2), заведомо входят в класс любых функций.

Определим на N функционал

. (9.9)

Для этого предполагается, что теорема выполнена, т. е. существует =(t, y), позволяющая составить выражения (9.5) и (9.6).

Для (y (t), u (t) Î X имеет место равенство

L=I.

Действительно,

.

На X выполнено (9.2) и y(t) - непрерывна, тогда, подставляя (9.2) в последнее выражение, получаем:

.

Рассмотрим задачу о минимуме L на N. Ввиду того, что на N функция допускает разрывы 1-го рода, оба слагаемых в (9.9) между собой не связаны и их можно оптимизировать отдельно.

Минимизация при u Î Q есть минимизация вырожденного функционала (см. п.9.3) и, по соответствующей теореме, достаточным условием минимума является

или, меняя знаки,

Минимизация же второго слагаемого в (9.9) дает условие (9.8). Итак, если пара удовлетворяет (9.6), (9.8), она дает минимум L на N. Но XÌN, L=I на X, поэтому, если пара принадлежит X, то, по лемме о достаточном условии оптимальности, она является элементом минимума и в исходной задаче оптимального уравнения.

Ценность теоремы в том, что она сводит исходную задачу оптимизации функционала к значительно более простой задаче оптимизации функции R(t, y, u) k + r переменных при различных значениях tÎ(t0, t1) и ограничениях (9.3) и функции Ф(y(t0), y(t1) переменных при условиях (9.4).

Схема ее применения следующая.

1.  Задаться некоторой функцией j=j(t, y).

2.  Из условий оптимизации (9.6), (9.8) найти пару .

3.  Проверить, удовлетворяет ли эта пара условиям (9.2). Если удовлетворяет, то она есть искомый элемент минимума, если же нет - то весь затраченный труд напрасен, так как условие достаточное и его выполнение ничего не говорит об элементе минимума.

Пример 1.

Примем j(t, y) в виде

. (9.10)

Тогда

 

. (9.11)

Поскольку рассматривается задача с закрепленными концами, Ф(y(t0), y(t1) нас не интересует.

Выражение (9.11) есть функция переменных y и u, зависящая от них квадратичным образом (рис. 9.1, 9.2).

Поэтому из условия максимизации

,

,

откуда

; . (9.12)

Проверим принадлежность пары (9.12) множеству X. Непосредственное дифференцирование показывает, что исходное дифференциальное уравнение выполняется. Из (9.12) ; , что совпадает заданными граничными условиями, следовательно, непрерывна на [t0, t1] и дифференцируема. Таким образом, по теореме Кротова, выражение (9.12) есть элемент минимума исходной задачи.

Решение найдено довольно легко из-за того, что выражение (9.10) было удачно выбрано. Если же выбрать, например,

,

то

R = - y2 - u2 + 2tu +2y.

Тогда из условий максимизации R

Ry = -2y + 2

Ru = -2u + 2t,

и оптимальная пара

.

Но для этой пары исходное дифференциальное уравнение не выполнено, и потому она не может быть признана элементом минимума в исходной задаче.

Поэтому к подобному методу непосредственного задания функции j(t, y) прибегают очень редко. Чаще всего при задании j(t, y) сохраняют возможность дополнить ее в процессе решения исходной задачи так, чтобы пара , полученная из условий (9.6), (9.8), принадлежала X. Отчетливо это видно на примере принципа максимума, излагаемого в следующей главе.

9.3  ПРИМЕР. ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ

С ВОЗОБНОВЛЯЕМЫМ РЕСУРСОМ

Рассмотрим класс динамических, т. е. развивающихся во времени систем, описываемых вектором параметров , изменение которого происходит за счет использования некоторого ресурса M. Этот ресурс затрачивается на изменение каждого параметра, которое зависит от него линейно; кроме того, при этом тратится или воспроизводится некоторое количество ресурса M. Требуется так распорядиться ресурсом системы, чтобы, затратив его наименьшее количество, перевести систему за заданное время из заданного начального состояния в заданное конечное.

В достаточно общем виде подобные системы описываются моделью

(9.13)

Введем новые переменные

.

Тогда (9.13) примет вид

(9.14)

Если принять

,

то функция R имеет вид

.

Выберем функцию Кротова из условия

,

например, пусть

.

Тогда

,

откуда с точностью до n постоянных можно интегрированием определить вид функции Кротова. При этой функции, очевидно, что

т. е. не функция зависит ни от управлений, ни от фазовых координат. Таким образом, любые управления оказываются абсолютно оптимальными, если они переводят систему за заданное время из заданного начального состояния в заданное конечное.