Метод матриц в микроструктурной модели взаимодействия электрического поля с оптически неоднородной средой.

Простейшее микроструктурное рассмотрение взаимодействия поля и среды, изложенное в [1], для случая нормального падения привело к получению ряда известных соотношений для поля за пределами среды (коэффициент отражения и пропускания) и качественно новых соотношений для распределения поля внутри среды. Примененная процедура расчета (приведение задачи к интегрально–дифференциальным уравнениям) является приближенной и пригодной при условии, что количество переизлучающих плоскостей и длина волны излучения намного больше расстояния постоянной решетки . Действительно, конечные формулы нельзя апроксимировать на среду, состоящую из небольшого числа условных плоскостей (тонкие поверхностные слои, тонкие пленки). К вопросу о границах применимости изложенного метода решения следует также отнести те трудности, которые могут возникнуть при учете пространственной неоднородности параметров среды в связи с решением интегральных и дифференциальных уравнений.

В связи с выше перечисленным предлагается более строгий метод решения поставленной задачи – матричный метод, который свободен от перечисленных выше недостатков и дает еще одну возможность понять механизм взаимодействия электрического поля и среды. В предлагаемом методе за основу берется система уравнений для амплитуд волн источников переизлучения [2] и соотношения для амплитуд встречных волн наблюдаемого внутри среды поля [2]. С учетом пространственной неоднородности параметров среды запишем систему уравнений в виде

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

, (1)

, (2)

. (3)

Сделав замену индексов в (2) и (3) и затем подставив (2), (3) в (1), получим

. (4)

Выделив из сумм в правой части соотношений (2), (3) суммы с значениями индексов суммирования и соответственно, соотношения (1), (2) можно записать в следующем виде.

, (5)

. (6)

Исключив из соотношений (4), (5), (6) амплитуду волны источника переизлучения , получим систему уравнений для амплитуд встречных волн средних полей в плоскости наблюдения, расположенных по обе стороны от плоскости (согласно рис.1).

 

· · · ·

· · · ·

Рис. 1

, (7)

. (8)

Преобразуем систему уравнений (7), (8), выразив амплитуды волн полей, расположенных справа от плоскости , через значения полей, расположенных слева от плоскости.

, (9)

. (10)

Учитывая, что , запись коэффициентов в системе уравнений (9), (10) упрощается.

(11)

где , (12)

– поверхностная плотность диполей на плоскости .

Запишем систему уравнений (9), (10) в матричной форме.

, (13)

где – микроструктурная матрица преобразования электрического поля на условной плоскости переизлучения (вектора поля в пространстве направлений) равна

.(14)

Здесь введены обозначения: – среднее приращение фазы первого порядка, – приращение фазы второго порядка.

Для среды, представленной в виде переизлучающих плоскостей, матричное соотношение, связывающее компоненты электрического поля в пространстве направлений на первой и второй границах раздела вакуум–среда, примет вид.

. (15)

При этом следует учитывать, что вдоль распространения луча в произведении (15) микроструктурные матрицы от первой до последней следует располагать справа на лево согласно правилу произведения матрицы на вектор.

Для слоя среды толщиной , если известны матричные элементы среды, из соотношений (15) легко получить систему уравнений

, (16)

, (17)

из которой следует соотношение для амплитуды отраженной волны

(18)

и амплитуды прошедшей волны

, (19)

где – детерминант матрицы среды.

Для произвольной части слоя среды шириной следует аналогичное матричное соотношение

, (20)

из которого находится система уравнений для амплитуд встречных волн внутри среды.

, (21)

. (22)

Для произвольной плоскости наблюдения внутри среды из системы уравнений (21), (22) и соотношения (18) следует выражение для амплитуды волны в положительном направлении.

(23)

и отрицательном направлении

. (24)

Таким образом, в матричной форме решена задача по определению характеристик поля в неоднородном ограниченном плоскопараллельном слое среды толщиной . Результат характеризуется соотношениями (18), (19), (23), (24).

Весьма важен для практики случай, когда существует напыленный поверхностный слой толщиной , который при координате непосредственно переходит в однородный полубесконечный слой среды.

Полубесконечная среда в случае нормального падения характеризуется (в отсутствии напыленного слоя) коэффициентом отражения [3]. Характеристики поля для встречных волн внутри напыленного слоя непосредственно находятся из системы уравнений (16), (17), (21), (22). Влияние полубесконечной среды на систему взаимодействия учитывается в системе уравнений (15), (16), (17) с помощью равенства

, (25)

которое в данном случае не равно нулю. Это приведет в конечных соотношениях (18), (19), (23), (24) к замене , , где введенные матричные элементы равны

, (26)

, (27)

. (2)

Литература

1. , Распространение электрических волн в полубесконечной среде в случае нормального падения в представлении микроструктурной модели, 1–9, (2002).

2. , Микроструктурная модель взаимодействия электрического поля с оптически прозрачными средами или принцип переизлучения на диполях в оптических явлениях, 1,9,

(2002).

3. , Распространение электрических волн в полубесконечной среде в случае нормального падения в представлении микроструктурной модели, 9, (2002).