Квазиразложимые группы с фактор-группой, являющейся прямой суммой циклических
, Сургутский государственный университет, г. Сургут
Рассмотрим абелеву группу G конечного ранга с полным квазиразложением 
$A=\oplus^n_{i=1}A_i$, где Hom(Ai, Aj)=0 (i¹j), и фактор-группой T=G/A. Тогда A определяется единственно с точностью до равенства. Будем рассматривать только фактор-группы типа 
$T\cong\underbrace{Z(p)\oplus Z(p)\oplus\ldots\oplus Z(p)}_{\mbox{k}}$, где p–фиксированное простое число. Возникает вопрос о количестве групп G, если заданы квазиразложение A и фактор-группа T, т. е. (A, T)-групп.
Квазиразложение вышеуказанной группы G имеет вид 
$pG\subset A\subset G$. Рассмотрим расширение с помощью элементов g1,…,gk, т. е. G=<A, g1,…,gk>, когда G неразложима в прямую сумму.
Выберем в каждом Ai\pAi элемент ai0. В силу квазиразложения 
, i=1,…,n$pg_1=\sum^n_{i=1}a_i$, где aiÎAi, и далее 
$pg_1=\sum^n_{i=1}s_ia_i^0+p\^a_i$.Аналогично получим разложения для pg2,…pgk. Таким образом, расширению G сопоставляется матрица S=(sij). При этом строки матрицы линейно независимы, даже если их рассматривать как векторы над Fp. (Как следствие, k£n). Всего таких матриц оказывается (pn-1)(pn-p)…(pn-pk-1).
Верно и обратное, каждой такой матрице соответствует (A, T)-группа.
Рассмотрим условие, при котором разным матрицам соответствует одно и то же расширение, т. е. <A, h1,…,hk> (матрица P=(tij)) совпадает с G. Необходимым условием является h1,…hkÎG. Отсюда получим
где 
; обозначим матрицу (lij)=L. Домножая на p эти формулы и подставляя, получим:
, i=1,…,k. Поскольку сумма прямая и выбраны элементы не из pAi, с необходимостью PºLS (mod p) (в том смысле, что элементы матриц на одинаковых местах сравнимы). Откуда получаем дополнительное условие: матрица L невырожденная. Для подсчёта числа матриц L воспользуемся уже известное формулой, полагая k=n. Таким образом все возможные матрицы S распадаются на классы эквивалентности по (pk-1)(pk-p)…(pk-pk-1) (именно столько матриц L) в каждом.
Число классов эквивалентности, а значит, и расширений (A, T)-групп), равно
.
В частности, при k=1 получается уже знакомая формула (pn-1)/(p-1), а при n=k расширение всего одно.
