Лекція 42.Синтез аналогового фильтра с максимально плоской аппроксимацией. Синтез цифровых фильтров

Лекція 42 .Синтез аналогового фильтра с максимально плоской аппроксимацией. Синтез цифровых фильтров.

1.Синтез аналогових фільтрів Чебишева.

2.Алгоритми лінійної цифрової фільтрації.

3.Синтез цифрових фільтрів.

4. Алгоритм цифрової фільтрації.

5. Системна функція ЦФ.

Література: Л1. с. 450 – 457, 353-357. Л2. с. 411- 414, 478 – 484.

1. Синтез аналоговых фильтров Чебышева.

Широкое распространение получила аппроксимация идеальной АЧХ ФНЧ с помощью полиномов Чебышева. Коэффициент передачи мощности такого фильтра имеет вид.

где - постоянное число и называется коэффициентом неравномерности характеристики в полосе пропускания; - полином Чебышева, определяемый выражением

Функция может быть найдена из рекуррентного соотношения.

Причем , а .

Основные преимущества многочлена Чебышева:

1. Среди всех многочленов n-ой степени с одинаковым коэффициентом при старшей степени аргумента они менее всего отклоняются от нуля на интервале -1 < x < 1.

2. При абсолютные значения многочлена Чебышева весьма велики. При этом асимптотически они стремятся к виду .

В пределах полосы пропускания величина колеблется в пределах Если то фильтр будет обеспечивать достаточно большое ослабление сигнала.

Из графиков видно, что в полосе пропускания характеристика фильтра немонотонна. Амплитуда пульсации прямо пропорциональна коэффициенту нелиней

 

ности . Увеличение ведет к сильному ослаблению сигнала вне полосы пропускания. Качество фильтра устанавливается оптимальным подбором двух параметров и .

Обычно всегда удается добиться желаемого результата. Рассмотрим передаточную функцию ФНЧ Чебышева. Как видно из аппроксимирующего коэффициента передачи полюса функций необходимо найти из уравнений.

Метод решения данного уравнения достаточно громоздок, поэтому для расчета полюсов ФНЧ Чебышева используют полюса ФНЧ Батерворта.

Этапы расчета полюсов:

1.Рассчитывается вспомогательный параметр .

2.   Находим полюса передаточной характеристики фильтра Батерворта того же порядка.

Для перехода от полюсов Батерворта к полюсам чебышевского фильтра необходимо:

1. Абсциссу каждого полюса функции Батерворта необходимо умножить на , а ординату умножить на . Полюса фильтра Чебышева не будут лежать на комплексной окружности, а будут находиться на комплексном эллипсе.

Примечание для ФНЧ второго порядка.

 

1.

Б: r:

   

Перейдем к ненормированным корням.

Тогда коэффициент передачи фильтра Чебышева получится как.

2. Алгоритмы линейной цифровой фильтрации.

Линейные стационарные цифровые фильтры относятся к классу систем с дискретной обработкой сигналов. Цифровая фильтрация выполняет функцию полностью аналогичную аналоговым фильтрам, однако имеет ряд важных преимуществ: высокая стабильность параметров, возможность получения амплитудно-частотной характеристики и фазочастотной характеристики любой наперед заданной формы, на требуют настройки реализуются путем программирования процессора.

 

Непрерывный сигнал поступает на АЦП, управляемое импульсами от генератора, задающего частоту дискретизации. В момент подачи тактового импульса на выходе АЦП возникает сигнал по величине равный мгновенному значению амплитуды входного сигнала. Данное значение амплитуды переводится в двоичный код с фиксированным значением разрядов. Преобразованный уже цифровой сигнал поступает на вход процессора. В памяти хранится определенный алгоритм работы и числа, необходимые для работы алгоритмического устройства. Далее отфильтрованный цифровой сигнал поступает на ЦАП и переводится в непрерывный вид.

Основными показателями работы ЦФ являются быстродействие и качество амплитудно-частотной характеристики.

Математическая теория цифровых фильтров полностью эквивалентна теории фильтров, работающих с непрерывными сигналами. Линейная стационарная система преобразует непрерывный входной сигнал так, что на выходе возникают колебание , равное свертке функций и импульсной характеристики .

Линейный ЦФ по определению есть дискретная система, которая преобразует последовательность числовых отсчетов входных сигналов в последовательность выходных отсчетов сигнала.

Свойство линейности ЦФ состоит в том, что сумма любого числа входных сигналов умноженная на произвольные коэффициенты преобразуется в сумму его откликов.

Если или , то

при любых

Для того чтобы применить основную формулу фильтрации, основанную на свертке для цифровых фильтров необходимо описать и ввести понятие импульсной характеристики цифрового фильтра, применимой для работы с дискретным сигналом. С этой целью импульсная характеристика ЦФ будет являться аналогом цифрового сигнала , являющегося реакцией цепи на одиночный импульс.

ЦФ стационарен, если при смещении входного единичного импульса на любое число интервалов дискретизации импульсная характеристика системы также смещается на это количество интервалов, при этом не изменяя свою форму.

Используя вышеуказанные свойства линейности и стационарности, обоснуем алгоритм цифровой фильтрации.

Пусть на входе имеется цифровой сигнал вида

Данный сигнал поступает на вход ЦФ с известной импульсной характеристикой. Тогда отфильтрованный -отсчет сигнала на выходе ЦФ будет определен так.

или

Последнее выражение показывает, что выходная последовательность есть ни что иное, как результат дискретной свертки входного сигнала и импульсной характеристики фильтра.

3. Алгоритм цифровой фильтрации.

Синтез ЦФ.

Пусть на входе имеется сигнал . Данный сигнал подается на вход ЦФ с известной импульсной характеристикой. Тогда -отсчет сигнала на выходе находится как.

Последнее выражение говорит о том, что выходная последовательность есть дискретная свертка входного сигнала и дискретной импульсной характеристики ЦФ. Данное выражение описывает операцию взвешенного суммирования всех предыдущих значений сигнала, где весовыми коэффициентами являются дискретные отсчеты импульсной характеристики ЦФ.

 

Ранее уже рассматривался сигнал в комплексной форме

При дискретизации такого сигнала возможно получение гармонической последовательности.

Если шаг дискретизации

.

то

где Тогда выходной отсчет можно представит в виде.

-отсчет на выходе фильтра при подаче на вход дискретной последовательности.

Заменим , тогда.

Последнее выражение указывает на то, что выходной сигнал имеет также дискретную структуру с той же частотой следования, что и входной сигнал. Выходные отсчеты получаются из входных умножением на дискретный комплексный коэффициент передачи ЦФ.

Дискретный коэффициент передачи ЦФ зависит от шага дискретизации и от частоты.

Вывод:

1. Частотный коэффициент передачи есть функция периодическая, периодом, равным по частоте дискретизации.

2. Функция ЦФ есть преобразование Фурье от импульсной характеристики данного ЦФ.

4. Системная функция ЦФ.

Расчет важнейшей характеристики ЦФ – его частотного коэффициента передачи – удобно проводить с помощью методов Z – преобразований. Сопоставим дискретным сигналам {xk}, {yk} и {hk} их Z – преобразования, соответственно X(z), Y(z) и H(z). Выходной сигнал фильтра {yk} есть свертка входного сигнала и импульсной характеристики, и поэтому выходному сигналу отвечает функция

Y(z) = H(z) X(z).

Системной функцией стационарного линейного ЦФ называют отношение Z - преобразования выходного сигнала к Z -преобразованию сигнала на входе. В общем случае системная функция ЦФ записывается так.

Сравнивая последнее выражение можно прийти к следующему выводу. Переход к частотному коэффициенту передачи от его системной функции осуществляется, используя замену вида Z= exp {jωΔt}.

.