Электромагнитные колебания в колебательном контуре

Электромагнитные колебания в колебательном контуре.

Изменение со временем электрического заряда Q на обкладках конденсатора в цепи колебательного контура, состоящего из последовательно соединенных конденсатора, индуктивности и сопротивления, описывается дифференциальным уравнением [1]

L× (1)

Результат решения этого уравнения имеет вид [1] (при R<2)

, (2)

где - циклическая частота колебаний,

- начальная амплитуда, (3)

- коэффициент затухания,

- начальная фаза колебаний. (4)

Сила тока в колебательном контуре:

I= (5)

Проанализировав формулы (2), (5) можно отметить, что в начальный момент времени разряда конденсатора при t=0 заряд имеет максимальное значение Q0 а сила тока в этот момент времени равна нулю, т. е. введенные параметры начальной амплитуды А0 и начальной фазы а0 не имеют физического смысла, не упрощают запись формул конечного результата, а лишь сбивают с толку исследователей, пытающихся проанализировать формулы, используя лишь их внешний вид.

Поэтому проще и лучше записать результат решения уравнения (1) в том виде, который следует из самого решения. Решается линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами [2]. Для данного уравнения характеристическое уравнение имеет вид:

, (6)

которое имеет корни

. (7)

Общее решение будет:

или (8)

Константы С1 и С2 находятся из начальных условий :

, . (9)

Подставив начальные условия в (8), получим систему уравнений:

(10)

Из системы уравнений следует:

,

. (11)

Подставив константы в (8) , получим формулу для электрического заряда на обкладках конденсатора в зависимости от времени.

(2A)

(5A)

где - циклическая частота свободных незатухающих электромагнитных колебаний в контуре.

Из формулы (2А) следует, что амплитудой колебаний электрического заряда является Q0 , а оставшиеся множители принимают максимальное значение при t=0, т. е. увеличение в начальные моменты времени множителя компенсируется еще большим уменьшением со временем множителя и нет ни какого смысла говорить о начальной фазе колебаний. Из формулы (5А) четко следует, что, при любых условиях, колебание тока в контуре начинается с нуля, поэтому о начальной фазе колебаний и речи быть не может, т. к. , если производная от какой либо переменной функции не имеет начальной фазы, то и сама функция не имеет этой фазы.

Период колебаний равен .

Вычислим количество заряда, который перенесет ток в течении половины периода Т/2 своего колебания в контуре :

.

При отсутствии затухания в контуре b=0 величина перенесенного заряда равна 2×Q0 , т. е. конденсатор в колебательном контуре перезарядился на обратную величину заряда (-Q0 ).

Представляет также интерес формула для производной по времени от тока I (Рис. 2):

(12)

Результат в формуле (5А) легко подтвердить на практике, снимая на осциллограф падение напряжения с сопротивления R.

Практически еще легче измеряется производная по времени от тока (Рис. 2). Для этого достаточно рядом с шиной колебательного контура и даже на шине поместить измерительный контур. Площадь этого измерительного контура будет пересекать переменный магнитный поток Ф, образованный током I, протекающем по шине в колебательном контуре. Электро движушая сила или напряжение, снимаемое с витка измерительного контура, пропорционально dФ/dt или dI/dt. Об этом всегда надо помнить при измерении тока I, т. к. контур, образованный щупами, которые присоединяются к сопротивлению R, может привести к ошибке измерения, т. е. будет меряться смесь а×I+b××dI/dt, где а и b коэффициенты пропорциональности. Естественно, глядя на результат ошибочного эксперимента, могут возникнуть теоретические мысли о начальной фазе колебаний и начальной амплитуде.

Поэтому при измерении тока I контур, образованный присоединительными проводами необходимо сводить к минимуму.

В порядке проверки можно взять интеграл

(13)

Результат свидетельствует о правильности выбранного решения и формулы (5А).

Функция тока в зависимости от времени начинается с нуля, имеет максимумы, и носит синусоидальный характер с затуханием. Найдем величину тока в контуре в его максимумах. Максимум имеет место, когда производная от тока dI/dt=0. Из формулы (12) следует:

, (14)

откуда интервалы времени равны

, (15) в которых ток достигает максимальное значение. Где n - порядковый номер максимума тока в контуре, j1 - фаза колебаний тока в контуре, когда его величина достигает первого максимума. Подставим интервалы времени (15) в функциональную зависимость от времени для тока (5А), учитывая что в итоге получим:

(16) Здесь учтено направление тока в максимуме в зависимости от порядкового номера n. При малых величинах отношения фаза колебаний близка к . Величина =IM является амплитудой максимальных значений колебаний тока в контуре, которую можно записать, учитывая, что Q0=U0×C, U0 - напряжение на обкладках конденсатора, также так:

(17)

Это известная величина [1] и выводится из энергетических соображений в отсутствии потерь.

Выше былo продемонстрировано решение волнового уравнения (1) при условии, что . Решение носит волновой характер. При решение не носит колебательного характера и называется апериодическим. Решение его таково. Корни характеристического уравнения (6) являются действительными:

(18)

Общее решение будет:

или (19)

Константы С1 и С2 находятся из тех же начальных условий:

, . (9)

Подставив начальные условия в (19), получим систему уравненй:

(20)

Из системы уравнений следует:

, (21)

Подставив константы в (19), получим формулу для электрического заряда на обкладках конденсатора в зависимости от времени.

(22)

где - коэффициент затухания экспоненты,

- гиперболический декремент, как видно, он всегда меньше .

Из функции (22) следует, что заряд на обкладках конденсатора со временем не носит колебательного характера, а представляет затухающую функцию. Ток при этом имеет следующую функциональную зависимость от времени:

(23)

и имеет форму одиночного импульса (Рис. 3). Следует отметить, что заменой в формуле (23) b0 ® w, можно получить формулу (5А) для тока, который несет характер затухающей синусоиды.

В качестве проверки правильности найденных функциональных зависимостей (22), (23) возьмем интеграл:

(24)

Формулы (13), (24) свидетельствуют о независимости результата разряда конденсатора от пути этого разряда.

Для определения параметров импульса тока найдем функцию производной по времени от тока (Рис. 4):

(25)

Импульс тока имеет максимум в точке, где его производная по времени равна нулю. Отсюда следует соотношение для времени:

(26)

или .

Ток в максимуме импульса имеет следующее значение:

, (27)

где , , , .

По периоду синусоидальных колебаний тока в контуре можно определить некоторые параметры установки колебательного контура. Например, при заряде емкости С=100×10-6 ф, период колебаний был равен Т»70×10-6 сек, если , то индуктивность равна . Подставив значения, получим:

L»1.24 mkгн. (28)

При емкости С=200×10-6 ф, период колебаний был равен Т»110×10-6 сек, откуда следует величина индуктивности:

L»1.53 mkгн. (29)

При емкости С=400×10-6 ф, период колебаний был равен Т»150×10-6 сек, откуда следует величина индуктивности :

L»1.42 mkгн. (30)

При емкости С=1300×10-6 ф, период колебаний был равен Т»200×10-6 сек, откуда следует величина индуктивности:

L»0.779 mkгн. (31)

При изменении емкости в колебательном контуре начиная с С=200×10-6 ф в большую сторону прослеживается тенденция уменьшения общей индуктивности колебательного контура. При етом следует учитывать, что при изменении емкости изменялась конфигурация соединений шины контура, вероятно, поетому индуктивность контура с емкостью С=100×10-6 ф существенно занижена.

Длительность затухающих синусоидальных колебаний равнялась (Рис.1)

Т0»800×10-6 сек (32)

при уменьшении амплитуды до , т. е. , откуда следует, что , Из этого соотношения находится величина сопротивления:

ом (33)

При известных величинах : С=1300×10-6 ф, L»1×10-6 гн, U0=4000 v из соотношения (17) находим величину тока в максимуме в режиме синусоидальных колебаний и в отсутствии потерь b»0:

(34)

Если колебательный контур имеет следующие параметры : С=1300×10-6 ф, L=1×10-6 гн, R=0.06 ом. При этих значениях ток разряда конденсатора имеет форму одиночного импульса (Рис. 3) . Согласно формулы (27) определим параметры этого импульса :

1/сек,

1/сек,

, , (35)

,

35×10-6 сек.

При этом множитель в формуле (27) », т. е. максимальный ток в одиночном импульсе (Рис. 3) при минимальном сопротивлении R, которое обеспечивает этот режим, в раз меньше максимального тока, в режиме синусоидальных колебаний (34) при . Длительность импульса у основания находится из условия , при котором експоненциальный множитель в (23) »1/30. Из этого условия следует t0=4/(b–b0)=214×10-6 сек.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Литература

1. и , Справочник по физике, 1968г, стр 483-485.

2. и , Справочник по математике,1962г.,стр 453.