Оптимизация рэс по критериям ЭМС

8. ОПТИМИЗАЦИЯ РЭС ПО КРИТЕРИЯМ ЭМС

8.1. Задачи на оптимизацию в радиотехнике

8.1.1. Актуальность вопроса

Оптимизация широко применяется во всех отраслях науки и техники, как средство интенсификации процессов и рационального проектирования технических средств. Однако в радиотехнике решено относительно небольшое число задач на оптимизацию; небольшое в основном по двум причинам. Первая из них - частая смена элементной базы и связанное с этим стремление решить все проблемы за этот счет. Второй причиной можно считать бурное развитие теории и расширение областей применения РЭС, что сопровождается многократной сменой принципов действия и конструкций.

Под оптимизацией будем понимать изыскание наилучших технических решений, наивысшей эффективности РЭС путем математического расчета оптимальных параметров при принятых ограничениях. В результате оптимизации вырабатываются обоснованные рекомендации для разработки и проектирования. Более того, оптимизация – один из важнейших этапов проектирования.

Актуальность оптимизации в радиотехнике на первом этапе можно доказывать на примере двух крайних случаев.

При массовом производстве радиоаппаратуры может происходить «самооптимизация» за счет конкуренции и быстрой сменяемости типов продукции. Однако из-за отсутствия точных математически обоснованных рекомендаций параметры изделий, как правило, отличаются от оптимальных значений. С учетом массовости изделий за счет оптимизации может быть получен значительный экономический эффект.

Уникальные РЭС создаются малыми сериями, отличаются дороговизной, эксплуатируются сравнительно долго, (к примеру, наземные средства космического назначения могут работать двадцать и более лет). За время их эксплуатации происходит почти полная смена элементной базы, разрабатываются новые принципы действия и использования. Поэтому растет значение теоретических исследований и оптимизации в том числе. Число таких случаев сравнительно невелико, однако выигрыш за счет оптимизации значителен на каждом экземпляре.

В [21] приведено лаконичное определение: проектирование – это сплав эвристики и математических операций. Основную роль в математических операциях при проектировании РЭС должна играть оптимизация.

Постановка и решение задач на оптимизацию не являются тривиальными. Это еще одна из причин неширокого распространения оптимизации в радиотехнике, тем более в ЭМС. Для постановки и решения оптимизационных задач требуется глубокое знание объектов исследования, умение их анализировать целенаправленно так, чтобы вскрыть необходимые связи и зависимости и подобрать адекватный математический аппарат.

8.1.2 Краткая характеристика задач на оптимизацию в радиотехнике

В радиотехнике распространен тип оптимизационных задач на рациональное перераспределение. Для таких задач обязательно существование трех элементов: цели, ограничения и варьируемых параметров. Отсутствие хотя бы одного элемента лишает постановку задачи смысла.

Задачи на оптимизацию, как правило, решаются на двух иерархических уровнях. Например, найти такие оптимальные параметры радиотехнических устройств, составляющих РТС, чтобы получить наибольшую ее дальность действия при ограниченной стоимости (или другого ресурса).

Следует также отметить, что эти задачи двойственны: цель и ограничение могут меняться местами. Вышеупомянутую задачу, например, можно поставить по другому: минимизировать стоимость РТС при заданной дальности действия путем нахождения оптимальных параметров устройств.

Одной из первых в радиотехнике была решена в 1946 г. задача по расчету оптимальной полосы пропускания частот импульсного радиоприемника. Целью оптимизации является в этом случае достижение максимума отношения напряжения импульсного сигнала к среднему значению напряжения шума при заданной длительности импульса путем изменения полосы пропускания приемника и нахождения ее оптимального значения.

В последующие годы был решен ряд задач на оптимизацию. Значительная часть из них опубликована в книгах [4, 20], изданных в Минске.

По мере распространения оптимизационных задач в различных научных направлениях развивались соответствующие математические методы. Простейший и наиболее ранний из них – метод дифференцирования целевой функции, полученной с учетом ограничений, и приравнивания производной нулю. Этот метод оптимизации наиболее распространен в радиотехнике и, в частности, в задачах оптимизации с применением критериев ЭМС.

В более сложных задачах используются методы множителей Лагранжа, методы динамического, линейного, квадратичного, выпуклого, геометрического программирований, метод максимума Понтрягина и другие, каждый из которых наилучшим образом применим в отношении определенного класса задач. Разнообразие большое; однако выбор чаще всего осуществляется субъективно, не всегда лучшим образом; оправдывается тогда, когда приводит к постановке и решению задачи.

Так, для решения многомерных задач на перераспределение ресурсов можно остановиться, например, на методах множителей Лагранжа, динамическом или геометрическом программированиях.

Выбор математического метода и целенаправленный анализ изучаемого объекта в большинстве случаев образуют итерационный процесс, в котором не всегда видны приоритеты: так целенаправленный анализ априорно ведется под использование какого-то математического метода, пригодность метода определяется результатами анализа объекта. Эти операции могут повторяться.

8.1.3 Стоимостной критерий эффективности РЭС

В радиотехнике при перераспределении усилий на отдельные части РЭС с целью достижения выбранной цели при заданном ограничении требуется иметь объективный, отличающийся универсальностью и аддитивностью критерий. РЭС отличаются тем, что состоят из физически разнородных частей, так, что математически отобразить передачу усилий с одной части на другую оказывается практически невозможно, не имея универсального критерия. Исключением могут быть такие редко встречающиеся образования, которые состоят из однородных частей.

Поиск требуемого объективного, универсального и аддитивного критерия привел к единственному результату: таким критерием должен быть стоимостный критерий. Среди других – объем и вес – не могут претендовать на объективность.

Применение стоимостного критерия открывает новую страницу в постановке и решении задач на оптимизацию РЭС: число таких задач в радиотехнике резко возросло, заметно повысилось значение математических методов в проектировании РЭС.

Любое РЭС – продукт человеческого труда – количество и качество его оценивается независимо от физического содержания или конструкции; эта оценка, стоимость, может рассматриваться как объективный универсальный критерий.

Для оптимизации необходимо изучить такие математические связи внутри оптимизируемого РЭС, из которых можно сформировать как функцию цели, так и функцию ограничения. Обычно различают такие связи, которые характеризуют применение РЭС. Например, целенаправленный анализ импульсной радиолокационной системы (РЛС) обнаружения воздушных целей может привести нас к известному соотношению:

, (8.1)

в котором – дальность действия радиолокатора; G – КНД приемопередающей антенны; – эффективная площадь рассеяния цели; – длина волны. Уравнение (8.1) связывает тактическую характеристику РЛС с ее техническими характеристиками: мощностью излучения передатчика Pпер, пороговым уровнем мощности приема и другими характеристиками устройств, входящих в РЛС. Эту характеристику следует далее дополнить зависимостью с применением стоимостного критерия.

Стоимость технического объекта является монотонной функцией от любого прямо определенного показателя эффективности этого объекта. Заметим, что прямо определенным называется аргумент, показатель, рост которого приводит к росту некоторой функции, связанной с эффективностью. Если есть показатель обратно определенный, то его нетрудно перевести в прямо определенный. Так порог мощности приема радиоприемника является обратно определенным показателем чувствительности. Число соответственно может быть названо чувствительностью в прямом смысле. Тогда функция, к примеру, стоимость приемника будет монотонно зависеть от его чувствительности .

Пусть каким-то образом получена зависимость стоимости i-го объекта от некоторого его параметра хi, графически изображенная на рис. 8.1. В нашем примере это может быть зависимость стоимости передатчика или стоимости приемника. При определенных знаниях некоторого i-го объекта, опыте проектирования и использования стотимостного критерия можно априори наметить, что оптимум лежит в некоторых границах от до . При относительно небольшом отрезке с достаточной точностью можно записать линейную аппроксимацию стоимости в виде:

, (8.2)
где – удельная стоимость i-го объекта, – значение стоимости при.

К примеру для радиолокатора стоимость С, зависящую от параметров и , можно записать уравнением

, (8.3)

а общую стоимость РЛС

, (8.4)

где Сн – стоимость неварьируемых частей РЛС, Сопер – параметр, характеризующий передатчик, Сопр – параметр приемника. Последние параметры определяют как отрезки соответствующих ординат, полученных при линеаризации (см. рис.8.1). Этот параметр имеет условный характер, может быть как положительным, так и отрицательным.

Отметим, что если участок первоначально выбран на оси неправильно, так, что значение после оптимизации не войдет в его границы, то следует уточнить выбор положения участка с учетом и повторить оптимизацию. Такая операция может встретиться часто, что еще раз говорит о том, что процедуры оптимизации как и проектирования являются преимущественно итерационными.

В заключение отметим, что в задачах оптимизации наилучшим образом демонстрируется возможности системного подхода. При изучении объекта, являющегося иерархически более высоким образованием, выявляются требования к параметрам его компонентов, стоящих на более низком иерархическом уровне.

8.2. Оптимизация РТС по критериям вероятность ЭМС – стоимость.

8.2.1 Целенаправленный анализ

Конкретизируя задачу будем считать, что оптимизации подвергается элементарная РТС передачи информации, состоящая из двух устройств: РПдУ и РПрУ, разнесенных в пространстве на расстояние R. Для РПрУ вероятность ЭМС сводится в конечном итоге к формуле (5.53), которую можно переписать в виде

, (8.5)
где – число помех, проникающих в РПрУ, работающего в данной ЭМО.

Считаем далее, что известна вероятность ЭМС для передающей ветви РТС. Для этого перепишем формулу (5.91). Получим

,

где – число пораженных РПрУ излучением радиопередающего устройства нашей РТС.

Обеспечение ЭМС на приемной и передающей сторонах РТС происходит в отличающихся за счет расстояния R ЭМО, практически независимо. Поэтому можно считать вероятности (8.5) и (8.6) независимыми. Вероятность обеспечения ЭМС для всей РТС, состоящей только из двух устройств, можно выразить формулой

. (8.7)

Формула (8.7) как бы предопределяет равноценность явлений проникновения одиночной помехи через наш радиоприемник от передатчиков других РЭС и прохождения помехи от нашего РПдУ в приемники других РЭС. Это не очевидно. Поэтому в отдельных случаях целесообразно пользоваться весовыми коэффициентами и , не равными единице, которые могут быть использованы для коррекции суммы; показатель степени в (8.7) тогда приобретет вид .

Однако, если не разделять РЭС на «свои» и «чужие», считать факт проникновения НРП в свой и чужой приемник одинаково неприятным явлением, то можно обойтись без весовых коэффициентов. Ранее было установлено, что числа и , каждое из них, существенно меньше единицы, что может быть также основанием считать их равноценными.

Формула (8.7) представляет собой одну из функциональных связей, полученной в результате целенаправленного анализа.

Другую такую связь можно получить с использованием стоимостного критерия. По аналогии с (8.3) запишем:

,

.

Для определения стоимости РТС также по аналогии с (8.4) получим формулу

. (8.8)

Из общей стоимости РТС исключим ее неизменяющуюся часть , а также формальные составляющие и . Тогда останется стоимость , зависящая от вероятностей ЭМС. Получим

. (8.9)

Формулу (8.9) будем считать также результатом целенаправленного анализа РТС.

8.2.2 Формализация зависимостей и постановка задачи

Требуется для удобства в выборе математического аппарата соотношения (8.7) и (8.9) формализовать, что в данном случае сводится к использованию одинаковых переменных. Обозначим: и . После подстановки таких обозначений получим систему из двух уравнений с двумя переменными

. (8.10)

Формализованную систему уравнений можно использовать для постановок задачи на оптимизацию. В первой постановке требуется достигнуть максимума S при заданном значении путем рационального перераспределения переменных величин и .

Короче, требуется рассчитать при путем определения оптимальных и . В такой же укороченной записи вторая постановка задачи сводится к нахождению , если путем расчета и .

8.2.3  Решение задачи

В обеих постановках решение не представит труда. Максимум (минимум) целевой функции находится с помощью ее дифференцирования и приравнивания производной к нулю. При этом целевые функции в нашем случае легко становятся одномерными, если значение второго переменного подставить из уравнения ограничения.

В первой постановке задачи из ограничения найдем ; подставим в целевую функцию, получим . Далее получим алгебраическое уравнение из в виде , а из него . Нетрудно найти, что . Соответственно в первоначальных обозначениях и . Максимум целевой функции находим из уравнения .

Откуда

.

Во второй постановке функция цели и ограничение меняются местами. Здесь минимизируются затраты в форме при заданном значении путем перераспределения значений и .

Далее техника оптимизации аналогична как в первой постановке. Из ограничения найдем . Подставим в функцию цели. Получим . Дифференцируем и производную приравниваем к нулю. Получаем уравнение , из которого получаем

.

.

Или, соответственно

,

,

.

Полученные формулы для расчета оптимальных значений вероятностей и могут стать серьезным подспорьем при оценке роли РПдУ и РПрУ в РТС при проектировании РТС, обладающей наилучшими характеристиками ЭМС

8.3  Оптимизация радиоприемного устройства как многомерного фильтра

8.3.1 Исходные соотношения

Радиоприемное устройство представим как совокупность идеальных фильтров. Идеальным будем считать фильтр с П-образной характеристикой избирательности. В этом случае каждому из параметров обеспечивается П-образная одномерная характеристика

,

где – полоса пропускания фильтра; – параметр настройки фильтра.

Идеальный многомерный фильтр, каким мы представляем радиоприемное устройство, является совокупностью из n последовательно соединенных одномерных фильтров, осуществляющих взаимно независимо фильтрацию сигнала по n параметрам.

Характеристику избирательности многомерного фильтра представим как произведение характеристик избирательности одномерных фильтров, т. е. . Фильтр n-мерный «вырезает» в n-мерном пространстве некоторый объем, содержащий точку, координаты которой обозначают параметры полезного сигнала. Этот объем можно назвать объемом прозрачности n-мерного фильтра.

При условиях, рассмотренных в разделе 5.3.2 можно рассчитать вероятность ЭМС, представленную соотношением, например (8.5). Если ЭМС обеспечена , то для n-мерного фильтра можно с достаточной точностью записать соотношением

.

Если распределения параметров внутри своих диапазонов равномерны по всем , то приведенную выше формулу можно переписать в виде

. (8.11)

Для постановки задачи оптимизации необходимо иметь еще одну связь, которую можно получить, применив стоимостный критерий. Для значений , близких к оптимальным, составим линейную комбинацию

(8.12)

где – удельные стоимости фильтров; – стоимость n-мерного фильтра, зависящая от варьируемых параметров, в данном случае от .

Соотношения (8.11) и (8.12) можно использовать для постановки задач оптимизации:

1)  найти

max, (8.13)

если стоимость задана,

; (8.14)

2)  минимизировать стоимость

, (8.15)

если отношение задано.

Это отношение однозначно связано с в данной ЭМО, поэтому можно считать вероятность ЭМС заданной . Таким образом, получим:

. (8.16)

8.3.2  Получены функции целей и ограничения в двух постановках задачи, в которые составной частью входят варьируемые параметры . Решение задачи в первой постановке

Известен ряд решений подобных задач [4,20] с применением динамического программирования [22]. Выберем именно этот метод, считая его наиболее экономным в вычислительном отношении. Ориентируясь на применение этого метода, произведем формализацию задачи.

Умножим (8.13) на число и введем обозначения:

Получим из (8.13) и (8.14)

.

Первое из этих соотношений прологарифмируем и еще раз запишем формулировку задачи оптимизации в первой постановке.

Требуется найти , если путем расчета оптимального при

Принцип оптимальности динамического программирования [22] гласит: оптимальная программа имеет то свойство, что каково бы ни было первоначальное соотношение и начальный выбор, остающиеся выборы должны составить оптимальную программу по отношению к состоянию, полученному в результате первого выбора.

Алгоритм решения записывается обычно в виде рекуррентного соотношения и решается последовательно (шагами), при этом каждый шаг уменьшает мерность задачи на единицу. Так n-мерная задача превращается в n сравнительно простых одномерных задач. В этом состоит преимущество данного метода в сравнении с известным методом применения множителей Лагранжа, при котором вычисления сводят к решению системы из n уравнений.

Для нашего случая порядок решения можно записать в виде рекуррентного уравнения:

. (8.17)

Первый шаг выполним с помощью второго соотношения для n=1. На первом шаге предполагается, что как бы существует только один фильтр, и вся стоимость приходится на него. При n=1 получим .

На втором шаге (n=2) рассчитывается в предположении, что существуют только два фильтра, при этом второй как бы подсоединяется к первому. Пользуясь первым рекуррентным соотношением находим при n=2

. После третьего шага аналогично получим при n=3

Вычисления на первых трех шагах дают основание сделать обобщение для любого числа n фильтров, т. е. при n=n запишем

В первоначальных обозначениях получим

.

8.3.3  Решение задачи во второй постановке

Во второй постановке задачи требуется минимизировать стоимость , если задано значение . С целью формализации введем обозначения:

. Подставим эти значения в (8.15) и (8.16).

Получим

.

Сформулируем задачу оптимизации в формализованном виде: требуется найти , если существует ограничение , где – постоянное число, .

Следуя методике динамического программирования, запишем рекуррентное соотношение

. (8.18)

Для составления (8.17) и (8.18) требуется определенная внимательность. Действуя так же, как в первой постановке задачи получим

.

Или в первоначальных обозначениях

.

Получены таким образом удобные для расчета оптимальных параметров формулы.

8.4  Оптимальные и критические размеры ячеек в сотовых сетях связи

8.4.1 Выбор критерия оптимальности

Как уже отмечалось в ССС достигнут значительный прогресс в использовании ЭМР. Однако было подмечено только качественно, наличие внутреннего противоречия, которое состоит в том, что повышение эффективности за счет уменьшения размеров сот, сопровождается ростом СРП. Если при оптимизации многомерного фильтра в разделе 8.3 возникла трудность в выборе и использовании математического аппарата, то при оптимизации в ССС трудность определилась в выборе критерия оптимальности.

Воспользуемся результатами анализа ССС, выполненными в разделе 7. Ограничимся оптимизацией для условий распространения радиоволн в свободном пространстве, приняв значение показателя n равным 2. Тогда формулу (7.10) можно переписать в виде

. (8.19)

Для обеспечения нормальной работы пороговая мощность приема Ро в а раз должна превосходить уровень помех, который представлен был суммой всех помех Рш без учета СРП и СРП с учетом множителя коррекции , т. е. . Требуется таким образом установить пороговый уровень приема

. (8.20)

Преобразуем соотношение (8.19) к виду

. (8.21)

Вместо подставим ее значение, выраженное формулой (7.18). После преобразований получим

(8.22)

Целевой функцией оптимизации будем считать соотношение (8.22). Таким образом критерием оптимальности является потенциал оптимизируемой РТС.

Формула (8.22) в качестве ограничения содержит параметр а превышения сигнала над помехами, независимо от размеров соты. Обычно в оптимизационных задачах имеется вторая постановка, следуя которой надо было бы как-то манипулировать с параметром а. Нам пока кажется такая манипуляция бессмысленной. С этими оговорками будем решать задачу оптимизации только в одной постановке, с одной функцией цели (8.22).

8.4.2  Оптимальный размер соты

Функция цели (8.22) зависит от размера соты противоречиво; возможен экстремум. Найдем его путем дифференцирования и решения уравнения . Получим

. (8.23)

Для получения представления о порядках величин решим пример.

Пример 8.1. Пусть известны параметры ССС:

.

Решение. Подставим эти данные в формулу (8.23). Получим .

В результате решения получен результат, который в реальности можно встретить в ССС как в макросотовом, так и микросотовом построении. Видимо, проведение соответствующих расчетов обязательно при проектировании.

Нетрудно установить, что соответствует минимуму энергетического потенциала . При уменьшении можно уменьшать , что следует из соотношения (8.19); однако при уменьшении , растет быстрее мощность СРП, так что кривая при имеет минимум.

8.4.3  Критический размер соты

Дальнейшее уменьшение размеров сот при приводит к лавинообразному росту СРП; существует некоторое критическое значение размера соты, при достижении которого и заданном превышением сигнала над помехой требуется бесконечное значение энергетического потенциала .

Ход кривой показан на рис. 8.2; обозначены точки и . на этом же рисунке изображена кривая , которая была бы без учета СРП.

Формально, критическим будет такой размер соты, который соответствует нулевому значению знаменателя целевой функции (8.22). при этом получим формулу

. (8.24)

Пример 8.2. Пусть ССС характеризуется такими же параметрами как в примере 8.1. Найти значение .

Решение. Рассчитаем методом сопоставления коэффициентов в формулах (8.23) и (8.24). получим .

Как следует из примеров, при прочих равных условиях относительно близки значения и , что важно знать при проектировании ССС. Из формул (8.23) и (8.24) также следует, что в распоряжении разработчиков ССС имеется определенная «свобода» при проектировании, поскольку каждый из параметров и могут изменяться в широких пределах; можно добиваться или рационального от него отступления в зависимости от стабильности этих параметров.