Тема: Уравнения в целых числах

Очно – заочная школа по математике при УО «МГОИРО»

Задание № 2 (2013 год) для учащихся 8 класса

Тема: Уравнения в целых числах.

Линейные уравнения.

Общий вид линейного уравнения: . (*)

Теорема 1. Если с не делится на, то уравнение (*) не имеет решения в целых числах.

Будем рассматривать случай, когда коэффициенты a и b взаимно просты, т. е. .

Теорема 2. Пусть и удовлетворяют уравнению (*). Тогда все решения уравнения (*) имеют вид: , ( - целый параметр).

Пример. Решить уравнение в целых числах: .

Решение. Заметим, что . Найдём частное решение: например, при получим, что . Таким образом, уравнение имеет бесконечно много целочисленных решений, которые в общем виде можно представить как , , .

Проверка:‑ верно.

1. У торговца на рынке есть 100-граммовые гирьки и яблоки весом ровно по 450 г каждое. Как с их помощью отвесить на чашечных весах 2,5 кг винограда за один раз, использовав наименьшее количество гирек и яблок(в общей сложности)?

Нелинейные уравнения.

I. Метод ограничения перебора

А) путём разложения на множители

Б) преобразованием левой части уравнения к сумме неотрицательных функций

В) за счёт использования неотрицательности дискриминанта

Решить уравнения в целых числах:

2. .

3. .

4. .

II. Сравнение обеих частей по некоторому модулю.

Определение. Если целые числа a и b дают одинаковые остатки при делении на целое ненулевое число m, то говорят, что a и b сравнимы по модулю m и записывают это следующим образом:

Сравнения можно складывать, вычитать, перемножать. Обе части сравнения можно возвести в натуральную степень.

Чтобы использовать теорию сравнений при решении уравнений в целых числах, нужно сначала выбрать модуль, по которому будет проводиться сравнение, а затем рассмотреть остатки, которые могут получиться при делении левой и правой части на выбранное число.

Пример..

Решение. Квадрат целого числа может давать при делении на 4 либо остаток 0 (если число чётное), либо остаток 1 (если число нечётное):

, , , , , …

Остатки 0 и 1 чередуются, и других остатков получиться не может. Имеем: , , значит, .

Что касается правой части исходного уравнения, она, очевидно, даёт в остатке (-1), или (что то же самое) – 3, при делении на 4.

Получается, что левая и правая части уравнения дают разные остатки при делении на 4, а такого быть не может.

Ответ: нет решений.

Решить уравнения в целых числах:

5.

[Указание: идея чётности/нечётности.]

6.

[Указание: рассмотреть остатки по модулю 5.]

III. Метод упорядочения переменных.

7. Решить в натуральных числах:

[Указание: пусть для определённости .]

8. Найдите все тройки простых чисел , для которых справедливо неравенство .

А теперь, пользуясь рассмотренными выше методами (и некоторыми другими приёмами), постарайтесь решить следующие задачи.

9. Найдите натуральные корни уравнения

17(xyzt + xy + xt + zt + 1) – 54(yzt + y + t) = 0.

[Указание: решать относительно x.]

10. Докажите, что уравнение имеет бесконечное множество решений в целых числах.

[Указание: избавиться от двух кубов с помощью подстановки z = - x.]

11. Выясните, конечно или бесконечно число решений в натуральных числах уравнения .

12. Найдите все целые решения уравнения

13. Докажите, что уравнение не разрешимо на множестве целых чисел.

[Указание: преобразуйте левую часть и используйте сравнения по модулю. Только догадайтесь, по какому именно.]

14. .

15. Среди всех пар (x; y) натуральных чисел, удовлетворяющих равенству и неравенствам , найдите ту, для которой сумма наибольшая.

[Указание: легко заметить, что у чисел x и y есть общий делитель.]

Разработчик________________,

магистрант ГУВПО «Белорусско – Российский университет»