Задачи и комментарии по теме «Теория потенциала»

.Лекция от 25 ноября 2015 г.

Номер

Формулировка

коммент

1

Проверить, что функции и являются фундаментальными решениями оператора Гельмгольца в трехмерном пространстве.

§ 6.5

2

Проверить, что функции и удовлетворяют условиям излучения (при соответствующем выборе знака в условии).

3

Показать, что сферическая волна уходит в бесконечность (рассеянная волна), а сферическая волна приходит из бесконечности (падающая волна). Указание: вычислить соответствующие токи вероятности и

4

С помощью определения свертки обобщенных функций получить явную формулу в виде поверхностного интеграла первого рода по границе области для потенциала простого слоя (здесь обобщенная функция простого слоя )

§ 7.10

(для оценок отлично и хорошо)

5

С помощью определения свертки обобщенных функций получить явную формулу в виде поверхностного интеграла первого рода по границе области для потенциала двойного слоя (здесь обобщенная функция двойного слоя)

§ 7.10

(для оценок отлично и хорошо)

6

Получить равенство:

Здесь - угол между векторами и , - внешняя нормаль к поверхности (границе области)

7

Вычислить асимптотику потенциала простого слоя для уравнения Гельмгольца при

Ответ: . Здесь множитель зависит только от направления и имеет вид:

8

Вычислить асимптотику потенциала двойного слоя для уравнения Гельмгольца при

Ответ: .

Здесь множитель зависит только от направления и имеет вид:

(при вычислении асимптотики следует предварительно проделать вычисления задачи 6)

В столбце КОММЕНТАРИИ указаны параграфы из учебника

, Уравнения математической физики, М.: Наука, 1988

с которыми рекомендуется ознакомится при решении задачи.

Последняя задача (суперсупербонус) их темы "Высокочастотные асимптотики для уравнения Гельмгольца в неоднороной среде": Показать, что условия трансверсальности в точке пересечения экстремали функционала Ферма (луча) и поверхности уровня функции поля (волнового фронта) являются условиями ортогональности.