XIII Международная олимпиада «Эрудит. Осень - зима 2015»

XIII Международная олимпиада «Эрудит. Осень - зима 2015»

Ответы.

Задача 1

Ответ: Всего было куплено 300 шаров.

Решение: Обозначим количество купленных красных шаров буквой К, количество купленных жёлтых шаров буквой Ж, количество купленных синих шаров буквой С, количество купленных белых шаров буквой Б, количество купленных зелёных шаров буквой З.

Так, как на гирлянду над входом в школу израсходовали по 20 красных, синих и белых шаров. Получаем (К-20), (С -20), (Б -20). А после того, как украсили вход в школу, красных, синих и белых шаров осталось столько же, сколько жёлтых и зелёных шаров вместе взятых. Получаем: (К-20)+(С -20)+(Б -20)= Ж+ З

Решаем: К-20+С -20+Б -20= Ж+ З

К+С +Б -60= Ж+ З

Так, как шаров каждого цвета было куплено одинаковое количество, то обозначим количество купленных шаров одного цвета буквой Ш. Тогда получим:

Ш+ Ш+ Ш - 60 = Ш+ Ш

3 Ш – 60 = 2 Ш

3 Ш – 2 Ш = 60

Ш = 60

То есть купили по 60 шаров каждого вида. Покупали 5 видов шаров (К,С,Б,Ж, З).

Итого получаем 60* 5= 300 шаров.

Задача 2

Ответ: 540 рублей ушло на покупку подарка для первоклассников. Ручка стоит 7 рублей, открытка 2 рубля и карандаш 3рубля.

Решение: Обозначим цену открытки буквой О, цену ручки буквой Р, цену карандаша буквой К.

Так, как по первому условию задачи за одну открытку, ручку, и девять карандашей заплатили 36 рублей, получим: О + Р + 9К = 36

9К = 36 – (О + Р)

Так, как цена каждого предмета – число натуральное, то 1 карандаш может стоить 1рубль, 2 рубля, 3рубля. Стоимость одного карандаша не может быть 4 рубля, как 9 карандашей будут стоить 36 рублей. А по первому условию задачи за одну открытку, ручку, и девять карандашей заплатили 36 рублей.

Рассмотрим вариант когда 1 карандаш стоит 1 рубль. Тогда 9 карандашей будут стоить 9 рублей. А одна открытка и одна ручка будут стоить 27 рублей

О + Р = 36 - 9К

О + Р = 36 – 9* 1

О + Р = 36 – 9

О + Р = 27

Следовательно, одна открытка будет стоить 27 рублей минус стоимость одной ручки: О = 27 – Р

Так, как по второму условию задачи две ручки стоят столько же, сколько одна открытка и четыре карандаша вместе взятые, получим: 2Р = О + 4К

Но мы предположили, что карандаш стоит 1 рубль. Тогда получаем:

2Р = О + 4*1

В этом случае одна ручка будет стоить О = 2Р – 4

Так, как в первом условии задачи и во втором условии говорится об одной и той же открытке получаем: 27- Р = 2Р – 4

2Р + Р = 27+ 4

3Р = 31

По условиям задачи стоимость ручки число натуральное. А 31 нельзя разделить на 3 без остатка. Следовательно один карандаш не может стоить 1 рубль.

Рассмотрим вариант когда 1 карандаш стоит 2 рубля. Тогда 9 карандашей будут стоить 18 рублей. А одна открытка и одна ручка будут стоить 18 рублей

О + Р = 36 - 9К

О + Р = 36 – 9* 2

О + Р = 36 – 18

О + Р = 18

Следовательно, одна открытка будет стоить 18 рублей минус стоимость одной ручки: О = 18 – Р

Так, как по второму условию задачи две ручки стоят столько же, сколько одна открытка и четыре карандаша вместе взятые, получим: 2Р = О + 4К

Но мы предположили, что карандаш стоит 2 рубль. Тогда получаем:

2Р = О + 4*2

В этом случае одна ручка будет стоить О = 2Р – 8

Так, как в первом условии задачи и во втором условии говорится об одной и той же открытке получаем: 18- Р = 2Р – 8

2Р + Р = 18+ 8

3Р = 26

По условиям задачи стоимость ручки число натуральное. А 26 нельзя разделить на 3 без остатка. Следовательно один карандаш не может стоить 2 рубль.

Рассмотрим вариант когда 1 карандаш стоит 3 рубля. Тогда 9 карандашей будут стоить 27 рублей. А одна открытка и одна ручка будут стоить 9 рублей

О + Р = 36 - 9К

О + Р = 36 – 9* 3

О + Р = 36 – 27

О + Р = 9

Следовательно, одна открытка будет стоить 9 рублей минус стоимость одной ручки: О = 9 – Р

Так, как по второму условию задачи две ручки стоят столько же, сколько одна открытка и четыре карандаша вместе взятые, получим: 2Р = О + 4К

Но мы предположили, что карандаш стоит 3 рубль. Тогда получаем:

2Р = О + 4*3

В этом случае одна ручка будет стоить О = 2Р – 12

Так, как в первом условии задачи и во втором условии говорится об одной и той же открытке получаем: 9- Р = 2Р – 12

2Р + Р = 9+ 12

3Р = 21

Р = 7

Одна ручка стоит 7 рублей. Это не противоречит третьему условию задачи.

Тогда одна открытка стоит 2 рубля: О = 9 – Р

О = 9 – 7

О = 2

Задача 3

Ответ: 24 четвероклассника не принимали участие в концерте.

5 четвероклассников принимали участие только в конкурсах.

Решение: Допустим синий круг это ученики, которые пели в хоре. Зеленый круг это ученики, которые танцевали. Красный круг это ученики, которые принимали участие в конкурсах.

 

Получаем: 32+27+22=81 человек принимало участие в концерте.

Но по условиям задачи 10 ребят из хора – танцевали. Получаем пересечение кругов.

 

Значит 81-10=71 человек принимало участие в концерте.

Но по условиям задачи 6 ребят из хора принимали участие в конкурсах. Получаем пересечение кругов.

 

Значит 71-6=65 человек принимало участие в концерте.

Но по условиям задачи 8 танцоров принимали участие в конкурсах. Получаем пересечение кругов.

 

Значит 65-8=57 человек принимало участие в концерте.

Но по условиям задачи 3 танцора принимали участие в конкурсах и пели в хоре. Получаем пересечение кругов.

 

Значит 57-3-3=51 человек принимало участие в концерте.

Так, как всего в четвертых классах учится 75 учеников, то не принимало участие в концерте 24 четвероклассника. (75- 51= 24)

Чтобы определить сколько четвероклассников принимали участие только в конкурсах, объединим показанные рисунки в один.

Получаем: 22-6-3-8=5

5 четвероклассников принимали участие только в конкурсах.

Задача 4

Ответ: подарок находится в красной коробке, а мальчика звать Витя.

Решение: Что бы найти решение нужно рассмотреть три ситуации:

1.  Первого мальчика зовут Гриша. Второго мальчика зовут Саша, а третьего Витя.

2.  Первого мальчика зовут Витя. Второго мальчика зовут Гриша, а третьего Саша.

3.  Первого мальчика зовут Саша. Второго мальчика зовут Витя, а третьего Гриша.

Рассмотрим первую ситуацию.

Так, как Гриша всегда лжет, то подарок не в красной коробке.

Так, как Саша чередует правду и ложь, начиная либо с правды, либо со лжи, то рассмотрим сначала, что первое высказывание правда. Тогда, действительно Гриша солгал. А выражение «Подарок в синей коробке» - это ложь. То есть подарок не в синей коробке. Остается только зеленая коробка. Значит подарок в зеленой коробке. Но так, как Витя всегда говорит правду, то высказывание «первый мальчик солгал» - правда. Высказывание «Второй мальчик оба раза солгал» - правда. Но это противоречит условию задачи так, как Саша чередует правду и ложь. Следовательно такая расстановка мальчиков не возможна.

Гриша	Саша	Витя
Подарок в красной коробке	Первый мальчик солгал	Подарок в синей коробке	Первый мальчик солгал	Второй мальчик оба раза солгал	Подарок в зеленой коробке
ложь	правда	ложь	правда	правда	правда

Рассмотрим вторую ситуацию.

Так, как Витя всегда говорит правду, то высказывание «Подарок в красной коробке» правда. Так, как Гриша всегда лжет, то высказывания «Первый мальчик солгал» и высказывание «Подарок в синей коробке» это ложь. То есть подарок в красной коробке. Так, как Саша чередует правду и ложь, начиная либо с правды, либо со лжи, то рассмотрим сначала, что первое высказывание правда. Тогда высказывание «Первый мальчик солгал» это правда. И это противоречит условию задачи, так как Витя всегда говорит правду.

Витя	Гриша	Саша
Подарок в красной коробке	Первый мальчик солгал	Подарок в синей коробке	Первый мальчик солгал	Второй мальчик оба раза солгал	Подарок в зеленой коробке
правда	ложь	ложь	правда	ложь	правда

Рассмотрим когда у Саши первое высказывание ложь. То есть, высказывание «Первый мальчик солгал» - ложь. Это не противоречит условию задачи.

Тогда второе высказывание Саши «Второй мальчик оба раза солгал» - это правда. Это не противоречит условию задачи. И третье высказывание «Подарок в зеленой коробке» - ложь. Это тоже не противоречит условию задачи. Следовательно подарок в красной коробке, а мальчика звать Витя.

Витя	Гриша	Саша
Подарок в красной коробке	Первый мальчик солгал	Подарок в синей коробке	Первый мальчик солгал	Второй мальчик оба раза солгал	Подарок в зеленой коробке
правда	ложь	ложь	ложь	правда	ложь

Рассмотрим третью ситуацию.

Так, как Саша чередует правду и ложь, начиная либо с правды, либо со лжи, то рассмотрим сначала, что высказывание «Подарок в красной коробке» - правда. Тогда первое высказывание второго мальчика - ложь. Но это противоречит условию задачи.

Саша	Витя	Гриша
Подарок в красной коробке	Первый мальчик солгал	Подарок в синей коробке	Первый мальчик солгал	Второй мальчик оба раза солгал	Подарок в зеленой коробке
правда	правда	правда	ложь	ложь	ложь

Рассмотрим теперь, что высказывание Саши ложь. Тогда, второе высказывание второго мальчика - ложь. А это противоречит условию задачи. Следовательно, такая расстановка мальчиков не возможна.

Саша	Витя	Гриша
Подарок в красной коробке	Первый мальчик солгал	Подарок в синей коробке	Первый мальчик солгал	Второй мальчик оба раза солгал	Подарок в зеленой коробке
ложь	правда	правда	ложь	ложь	ложь

Задача 5

Ответ: Маша весит 28кг, Таня весит 29кг, Света весит 25кг и Лена весит 27кг

Решение: Обозначим вес Маши буквой М, вес Тани буквой Т, вес Светы буквой С, вес Лены буквой Л.

Тогда условие задачи можно записать выражениями:

Маша	Таня	Света	Лена	Общий вес
М	Т	С		82
М	Т		Л	84
М		С	Л	80
	Т	С	Л	81

1) М + Т + С = 82

2) М + Т + Л = 84

3) М + Л + С = 80

4) Л + Т + С = 81

Рассматривая 1) и 2) выражения видим, что Лена тяжелее Светы на 2 кг. (84 – 82=2). Тогда вес Лены можно записать так : Л= С + 2.

Рассматривая 2) и 3) выражения видим, что Таня тяжелее Светы на 4 кг. (84-80=4) Тогда вес Тани можно записать так : Т= С + 4.

Рассматривая 3) и 4) выражения видим, что Таня тяжелее Маши на 1кг. (81-80=1)

Тогда вес Тани можно записать так : Т= М + 1.

Так как речь идет об одной и той же девочке Тане то, можно приравнять выражения (Т= С + 4 и Т= М + 1 ), получаем: С + 4 = М + 1.

М= С+3

Зная, что Маша, Таня и Лена весят 84 кг запишем: (С+3) + (С+4) + (С+2) = 84

С+3 + С+4 + С+2 = 84

3С + 9 = 84

3С = 84 – 9

3С = 75

С = 25

Вес светы равен 25 кг.

Найдем вес Лены : Л = С+ 2

Л = 25 + 2= 27 кг.

Найдем вес Тани : Т = С+ 4

Т = 25 + 4= 29 кг.

Найдем вес Маши : М = С+ 3

М = 25 + 3= 28 кг.

Задача 6

Ответ: разрезать торт можно разными способами.

О	О
О	О	О
	О	О	О
		О	О

О	О
О	О	О
	О	О	О
		О	О

О	О
О	О	О
	О	О	О
		О	О

О	О
О	О	О
	О	О	О
		О	О

О	О
О	О	О
	О	О	О
		О	О