Исследовательская работа «Золотая пропорция»

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 2 г. Грязи

Грязинского муниципального района Липецкой области

Исследовательская работа

«Золотая пропорция»

Работу выполнили:

ученики 8 класса

МБОУ СОШ №2 г. Грязи

Будаева Ирина, Бурнацкая Ксения

Руководитель : учитель математики

г. Грязи

Рецензия

на работу учащихся 8 класса МБОУ СОШ №2 г. Грязи

Будаевой Ирины, Бурнацкой Ксении

«Золотая пропорция»

Выбор темы учащимися был сделан самостоятельно в связи с интересом к данной теме и её значимостью в курсе алгебры. Будаева Ирина и Бурнацкая Ксения работали над данной темой в течении учебного года в рамках школьного научного общества. Работа творческая с элементами исследования. В работе выдержаны требования к объёму, структуре, оформлению и содержанию:

1.составлен план

2.указаны цель, задачи Которые выполнялись в процессе исследования свойства «золотой пропорции»

3. указана литература.

Данная работа соответствует заявленной теме, материал изложен согласно составленному плану. Работа написана логично и последовательно.

В ходе работы ученицы научились применять знания полученные во внеурочное время для решения заданий, которые встречаются на уроках алгебры. Они изучили исторический материал по теме пропорция, применение свойства золотой «пропорции» в жизни.

Ученицы 8-го класса Будаева Ирина и Бурнацкая Ксения провели исследование школьных кабинетов, кисти рук учеников 8-го класса на выполнение свойства золотой пропорции.

Работа написана грамотно с использованием научных данных. Материал выходит за рамки шольного курса, рекомендуется для защиты на итоговом заседании школьного научного общества учащихся.

Оценка «5» отлично

Учитель математики:

План

Введение.

1.Золотое сечение – гармоническая пропорция

2.Принципы формообразования в природе.

3.Золотое сечение в скульптуре, в архитектуре.

4.Золотое сечение в живописи, в музыке.

5.Золотое сечение в литературе

6. Расчет священной пропорции в своём доме. Пропорции вашего сада.

7. Исследование классных комнат на свойство золотого сечения.

Заключение

Введение.

В древности люди осознавали, что окружающий их мир пребывает в гармонии и равновесии. Они прибегали к помощи мифов и религии, чтобы побольше узнать о порядке, которому подчинена природа. Сегодня мы обращаемся главным образом к ученым и математикам, чтобы они помогли нам объяснить то, что происходит в окружающем нас мире. Слово «пропорция» ввел в употребление Цицерон в 1 веке до н. э., переводя на латынь платоновский термин «аналогия», который буквально означал «вновь-отношение», или, как мы говорим, «соотношение». С тех пор вот уже 2000 лет пропорций в математике называют равенство между отношениями четырёх величин a,6,c, d:

Пропорции начали изучать еще в древности. В IV в. до н. э. древнегреческий математик Евдокс дал определение пропорции, составленной из величин любой природы.

Пифагор – выдающийся древнегреческий философ и математик был убежден в том, что в природе существует органическая гармония, которая может быть выражена посредством чисел и пропорции, а также в то, что эти пропорции можно применять для строительства домов или др. зданий.

Пифагор провозглашал совершенно определенные пропорциональные соотношения, которые он считал идеальными для благополучного существования людей. Он назвал это «Золотой серединой» (имея в виду то, что такие пропорции представляют собой нечто среднее), «Золотым сечением». Эта пропорция иногда называется «Священной пропорцией». Пифагор был тем человеком, который довел соотношение разных частей одного целого до трансцендентного стандарта. Такие пропорции, воплощенные в чем-либо, обычно радуют глаз, и они встречаются повсюду в естественной природе.

Большой научный интерес вызывает деление отрезка в отношении «золотого» сечения.

Актуальность: Принцип « Золотого сечения» актуален для исследований в науке, природе и искусстве.

Цель работы : Исследование школьных классов на предмет « золотого сечения».

Задачи:

1. Анализ научно-литературных источников по теме: «Пропорция»

2.Изучение свойства пропорции в окружающем нас мире.

3.Применение свойства « золотого сечения» для деления целого на

две неравные части, с точки зрения прекрасной формы.

Предмет и Объект исследования : исследование школьных классов на свойство золотой пропорции

Гипотеза: Золотая пропорция знаменует собой вершины эстетических изысканий, предел гармонии Космоса. Свойство «ЗОЛОТОЙ ПРОПОРЦИИ» убеждает нас в неразрывном единстве «математики и гармонии».

1.Золотое сечение – гармоническая пропорция

Отрезок прямой AB можно разделить на две части следующими способами:

1.  На две равные части – AB: AC = AB: BC;

2.  На две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);

3.  На две части, когда AB: AC = AC: BC

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как большая часть относится к меньшей.

a: b=b: c или c: b=b: a

Рис. 1. Геометрическое изображение золотой пропорции

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Рис. 2. Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = AB; CD = BC

Из точки B восставляется перпендикуляр, равный половине AB. Полученная точка C соединяется линией с точкой A. На полученной лини откладывается отрезок BC, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую AB. Полученная при этом точка E делит отрезок AB в соотношении золотой пропорции. Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618…, если AB принять за единицу, BE = 0,382.… Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок AB принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям. Свойства золотого сечения описываются уравнением:

x2 – x – 1 = 0

Божественная Пропорция тщательно изучалась греческим скульптором Фидиасом, поэтому ей дали название фи (Ф). Она известна также как золотая середина, мистическое отношение, ряд Фибоначчи и т. д.

Если же взять отношение двух последовательных чисел в ряду Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 и т. д.) и поделить каждое число на предыдущее, получится следующий числовой ряд:

1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1.5, 5/3 = 1.666, 8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625, 21/13 = 1.61538…

Полученное отношение обладает особой мистической ценностью, которую можно определить как золотую пропорцию или золотое число. Его значение приблизительно равняется 1.61804…. Однако отношение, получаемое из чисел Фибоначчи, бесконечно приближаясь, никогда не достигает числа фи. Хотя практически их нельзя отличить уже после нескольких делений.

2.Принципы формообразования в природе.

Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали. Раковина закручена по спирали. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см.

Спираль Фибоначчи очень часто встречается в природе, самое распространенное её проявление – в форме раковины улитки. Каждое расстояние между завитками при направлении к полюсу равно сумме двух последующих.

Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.

Но самое важное заключается в том, что коэффициент Ф присутствует в высшем творении Бога – человеке. Пропорция Ф обнаруживается во всей скелетной системе. Она обычно отмечается в тех местах, где что-то сгибается или меняет направление. Она также обнаруживается в отношениях размеров одних частей тела к другим.

3.Золотое сечение в скульптуре, в архитектуре

Скульптурные сооружения, памятники воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей, их подвиги и деяния. Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношения частей человеческого тела связывались с формулой золотого сечения. Пропорции «золотого сечения» создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях. Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении «золотого сечения». Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям. Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал «золотое сечение» в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статую Зевса Олимпийского и Афины Парфенос.

В Древней Греции систему идеальных пропорций человеческой фигуры создал скульптор Поликлет в V в. до н. э. Его теоретическое сочинение на эту тему называлось «Канон», а выражением в скульптуре этой системы явилась его статуя «Дорифор», что означает копьеносец. Мастер изобразил атлета-юношу, победителя в соревнованиях по метанию копья, в момент, когда после одержанной победы он совершает круг почета по стадиону, и его приветствуют восторженные зрители.

В книгах о «золотом сечении» можно найти замечание о том, что в архитектуре все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими «золотое сечение», то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. «Золотое сечение» дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин.

Одно из семи чудес света – египетские пирамиды. Эти фигуры поражают своими размерами, совершенством геометрических фигур.

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.)

Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 – по длинным. Выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора. Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре краски, которая только подчеркивает детали и образует цветной фон для скульптуры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению» получим те или иные выступы фасада.

Другим примером из архитектуры древности является Пантеон. Греческий Пантеон – главный из греческих храмов, он персонифицирует основные соотношения священной геометрии. Если высоту Пантеона принять за 1, его ширина будет равняться фи (1,618), а длина = 2,236. (1,618 + 0,618 = 2,236).

Невозможно утверждать, что зодчие собора Василия Блаженного знали о золотой пропорции, ее математическом выражении 1,618 и 0,618 и сознательно пользовались этой величиной в своих построениях. Они могли прийти к ней, пользуясь системой квадрата и прямоугольника «два квадрата», отношением их сторон и диагоналей, а, также используя пропорциональные циркули, которые существовали еще в Древней Греции.

В пропорциях Успенской церкви Елецкого монастыря установили преобладание золотой пропорции и отношений в квадрате и «двух квадратах», т. е. 1: 1 и 2: . Ширина и высота храма, высота ярусов, купола, подкупольного пространства и многие другие размеры частей связаны между собой золотой пропорцией или ее половиной.

Присутствие двух основных пропорций в Елецкой церкви обусловлено замыслом ее создателя, его представлением о гармонии и красоте. Для осуществления этого замысла при строительстве церкви, по мнению И. Шевелева, применяли два эталона длины – большую сажень (191,6 см) и малую сажень (154,9 см). Их отношение равно 0,809 или половине золотой пропорции. При создании архитектурных храмовых сооружений, в стремлении создать непревзойденные шедевры гармонии и красоты древнерусские мастера опирались не только на интуицию, но и на осознанную систему пропорций и том числе на золотое сечение. Это и определило непреходящую эстетичную ценность созданных ими храмов.

Золотое сечение в живописи, в музыке.

Переходя к примерам «золотого сечения» в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды». Он снискал славу непревзойденного художника, великого ученого, гения, превосходившего многие изобретения, которые не были осуществлены вплоть до XX в.

Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Все говорили о том глубоком знании Леонардо да Винчи о строении человеческого тела, благодаря которому ему удалось уловить эту загадочную улыбку. Говорили о выразительности отдельных частей картины и о пейзаже, небывалом спутнике портрета. Толковали о естественности выражения, о простоте позы, о красоте рук. Художник сделал еще небывалое: на картине изображен воздух, он окутывает фигуру прозрачной дымкой.

Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.

 

Данное открытие у художников того времени получило название «золотое сечение» картины. Поэтому для того, чтобы привлечь внимание к главному элементу фотографии, необходимо совместить этот элемент с одним из зрительных центров.

Даже в музыке огромное значение имеют пропорции, соотношение частей между собой и отношение каждой части к целому, т. е. и в музыке присутствует золотая пропорция. Если «измерять» музыкальное произведение по времени его исполнения, то точка золотого сечения служит ориентиром формообразования, часто на нее приходится кульминация. Это может быть также самый яркий или самый тихий момент, самое плотное по фактуре место или самое звуковысотное. Но случается и так, что в точке золотого сечения появляется новая музыкальная тема. По наблюдениям Л. Сабанеева, в музыкальных произведениях различных композиторов обычно констатируется не одно золотое сечение, а целая серия подобных сечений. Каждое такое сечение отражает свое музыкальное событие, качественный скачок в развитии музыкальной темы. В изученных им 1770 сочинениях 42 композиторов наблюдалось 3275 золотых сечений, в 1338 сочинениях наблюдалось хотя бы одно золотое сечение. Наибольшее количество музыкальных произведений, в которых имеется золотое сечение у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Скрябина (90%), Шопена (92%), Шуберта (91%).

Золотое сечение в литературе

Проводя аналогию между математикой и литературой, опираясь на данные ученых, можно прийти к следующему выводу: в строении стихотворений должна проявляться закономерность музыкальной гармонии, а следовательно, и золотая пропорция.

В коротких стихотворениях размером 4-8 строк, как правило, выражается 1 мысль, 1 эмоциональное состояние поэта. Но стихотворения большие, 12-14 строк или 20-22 строки, очень часто включают в себя 2 мысли, 2 эмоциональных состояния. Такие стихотворения состоят как бы из двух неравных по размеру частей, отношение большей части к меньшей очень часто близко к золотой пропорции.

Так, например, некоторые произведения очень четко отвечают этой закономерности внутренней композиции. Рассматривая композицию «Пиковая дама» приходишь к выводу, что кульминационный момент приходится на 535 строку из 853 строк. Эта строка расположена почти точно в месте золотого сечения – 853: 535 = 1,6.

Наличие золотой пропорции определяет основной план композиции «Пиковая дама», придает ей асимметричность – медленное нарастание эмоционального напряжения, кульминация и постепенный спад накала. Повесть состоит из 5 глав, и каждая узловатая точка глав отвечает точке золотого сечения:

1 глава – 110 строк – узловатая точка 68 строка;

2 глава – 219 строка – кульминационный момент 135 строка;

3 глава – 212 строк – золотое сечение соответствует 131 строке;

4 глава – 113 строк – золотая пропорция приходится на 70 строку;

5 глава – 75 строк – 46-я строка соответствует золотому сечению.

Золотая пропорция присутствует и в композиции других произведений : «Станционный смотритель», «Метель», «Гробовщик».

Совпадение кульминационных моментов в произведениях прозы с золотой пропорцией удивительно близкое, в пределах 1-3 строк. Чувство гармонии у него было развито необыкновенно, что объективно подтверждает гениальность великого поэта и писателя.

6.РАСЧЕТ СВЯЩЕННОЙ ПРОПОРЦИИ В СВОЕМ ДОМЕ. ПРОПОРЦИИ ВАШЕГО САДА

Измерьте ширину комнаты. Умножьте ширину на 1,618, чтобы определить перфектную (нужную) длину. Например, если ширина комнаты равна 12 , то вы умножаете 12м на 1,618 и в результате получаете величину, равную 19,416, что будет соответствовать длине комнаты. Вам не потребуется делать точные вычисления, чтобы определить нужный размер до последнего сантиметра, чтобы ваша комната стала соответствовать Священной пропорции. Сделанные вами приблизительные вычисления также могут дать великолепный результат, который вы сразу ощутите на себе.

Нет ничего необычного в том, что, обустраивая свою комнату, вы можете пользоваться и сложными расчетами, чтобы разместить там отдельные предметы в соответствии с правилом Золотой середины. Это возможно по той причине, что вы можете чувствовать правильные пропорции. Как бы там ни было, в любом случае во всем, что касается дизайна вашего дома или офиса, вы всегда должны помнить, что в итоге вы должны спросить себя: «Испытываю ли я приятные ощущения?»

Вы также можете использовать правило Золотого сечения, чтобы определить, как будет выглядеть ваш сад. Например, если ваш участок длинный и узкий, то вы можете определить его размеры в соответствии с принципами Золотой середины и затем посадить живую изгородь или сделать клумбы, чтобы создать ощущение гармоничных пропорций. Вы также можете разбить свой сад на несколько Золотых прямоугольников. Садовые арки, дорожки, загородки и ворота — все это может с успехом быть использовано для подчеркивания линий, соответствующих правилу Золотой середины, и создания возможностей для трансформации ощущений. Расставьте мебель в вашем доме и спланируйте свой сад в соответствии с правилами Священной пропорции.

7.Исследование классных комнат на свойство золотого сечения.

№ класса	Длина	Ширина	Результат деления
6	6,3	7,1	1,13
7	6,2	6,7	1,08
11	5,3	8,9	1,68
5 «Б»	5,9	7,8	1,32
9 «В»	5.2	8,7	1,67
8 «Б»	5,1	5,3	1,03
3 «Б»	5,4	7,1	1,31
3 «А»	5,1	7,5	1,47
4	5,9	7,8	1,32
10	5,7	9,2	1,61
ГПД	2,8	5,9	2,1
Компьютерный	5,2	7,1	1,36
Спортзал	9,1	16,7	1,83
8 «В»	5,9	8,2	1,38

Нормам САНПИНА соответствуют все заявленные классы, но с точки зрения эстетического пропорционального, гармоничного восприятия можно выделить следующие:9«В»(отношение длины к ширине равно 1,67), 11(1,68),10(1,61),спортзал(1,83),8«В» (1,38).

Исследование кисти руки на свойство золотого сечения.

Ученик	Длина кисти		Результат деления
	21	14	1,5
	21,5	13	1,65
	18,5	14	1,32
	18	13	1,38
	20	13	1,42
Андрей Х	21	14	1,5
	22	14	1,57
	21,5	14	1,53
	20	14	1,43
	16,5	11	1,5

С точки зрения эстетического пропорционального, гармоничного восприятия кисть руки учащихся 8 класса приблизительно соответствует нормам золотого сечения.

Заключение

Совершенные конструкции в космическом пространстве, завитки самого древнего существа на Земле – улитки Наутилус и расположение визуальных элементов на полотнах великих мастеров живописи находятся в соотношении 0,618 или 1,618. Сплавы металлов обладают лучшими свойствами, если атомарные веса составляющих их элементов находятся в данной пропорции. Совсем недавно было обнаружено, что существует наномир, подчиняющийся золотой пропорции. Окислы урана и других металлов образуются в соответствии с числами Фибоначчи. Можно предполагать, что золотая пропорция является основополагающим принципом образования химических соединений.

Золотая пропорция – понятие математическое, ее изучение – это, прежде всего, задача науки. Но она уже является критерием гармонии и красоты, а это уже категории искусства. В своей работе мы рассмотрели лишь некоторые области, в которых сознательно или интуитивно применялась «золотая пропорция»: скульптуру, архитектуру, поэзию, живопись, музыку. Но золотая пропорция определяет и закономерности развития многих организмов, ее присутствие отмечают почвоведы, химики, геологи, астрономы и др. ученые.

При изучении золотой пропорции в частности, в архитектуре, мы пришли к выводу, что математика помогает создавать целостное представление о произведениях и убеждает нас в неразрывном единстве «математики и гармонии».