УТВЕРЖДАЮ
Проректор-директор ФТИ
___________
«___»_____________20 г.
БАЗОВАЯ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
МЕТОДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА В ЭКОНОМИЧЕСКИХ И ИНЖЕНЕРНЫХ РАСЧЁТАХ
НАПРАВЛЕНИЕ (СПЕЦИАЛЬНОСТЬ) ООП
01.04.02 Прикладная математика и информатика
ПРОФИЛЬ ПОДГОТОВКИ (СПЕЦИАЛИЗАЦИЯ, ПРОГРАММА)
Математические методы в экономике, науке и технике
Базовый учебный план приема 2015 г.
Курс 2 семестр 3.
Количество кредитов 6.
Виды учебной деятельности | Временной ресурс по очной форме обучения |
Лекции, ч | 16 |
Практические занятия, ч | 8 |
Лабораторные занятия, ч | 24 |
Аудиторные занятия, ч | 48 |
Самостоятельная работа, ч | 168 |
ИТОГО, ч | 216 |
Вид промежуточной аттестации Экз., ДифЗач., КП 3 семестр
Обеспечивающее подразделение кафедра Высшей математики и математической физики
Заведующий кафедрой ВММФ | д. ф.-м. н. | ||
Руководитель ООП | д. ф.-м. н. | ||
Преподаватель | к. ф.-м. н. |
2015г.
1. Цели освоения дисциплины
В результате освоения данной дисциплины магистрант приобретает знания, умения и навыки, обеспечивающие достижение целей Ц2 и Ц3 основной образовательной программы «Прикладная математика и информатика».
Дисциплина нацелена на подготовку магистрантов к:
· освоению методов функционального анализа и их применение в экономических и инженерных расчетах;
· способности применять полученные профессиональные знания для определения, формулирования и решения производственных задач и обоснованно выбирать эффективные методы проектирования для достижения новых результатов.
2. Место дисциплины в структуре ООП
Дисциплина относится к вариативным дисциплинам общенаучного цикла (ДИСЦ. В.М.1.4).
3. Результаты освоения дисциплины
В соответствии с требованиями ООП освоение дисциплины направлено на формирование у магистрантов следующих компетенций (результатов обучения), в т. ч. в соответствии с ФГОС:
Формируемые компетенции в соответствии с ООП* | Результаты освоения дисциплины |
P1 | В результате освоения дисциплины магистрант должен знать: Общенаучные базовые знания по функциональному анализу. |
P1, Р2,Р9 | В результате освоения дисциплины студент должен уметь: Грамотно пользоваться языком предметной области, строго доказать утверждение, формулировать результат. Применять аппарат функционального анализа и методы интегральных преобразований при решении прикладных задач в различных областях |
Р2,Р9 | В результате освоения дисциплины студент должен владеть: Навыками письменной и устной коммуникации на математическом языке. Аппаратом функционального анализа для постановки задач и осуществления математического моделирования различных объектов и явлений. |
4. Структура и содержание дисциплины
4.1. Наименование разделов дисциплины
· 4.1.1. Анализ в функциональных пространствах
Производная и интеграл абстрактной функции вещественной переменной. Дифференцирование по Фреше и Гато. Производная Фреше функционала. Вариация функционала. Необходимое условие экстремума функционала. Функция Лагранжа с многими переменными и принцип наименьшего действия. Система уравнений Эйлера – Лагранжа второго порядка. Функция Лагранжа с производными высших порядков. Система уравнений Эйлера – Лагранжа порядка выше второго. Преобразования Лежандра. Функция Гамильтона. Уравнения Гамильтона. Примеры построения функций Гамильтона и гамильтоновых уравнений. Свойства гамильтоновых систем. Интегралы гамильтоновых систем.
4.1.2. Стохастические дифференциальные уравнения.
Случайные функции. Сходимость и дифференцируемость случайных функций. Интегрирование случайных функций. Стохастические аналоги классических дифференциальных уравнений. Стохастические дифференциальные уравнения. Одномерное уравнение Фоккера--Планка--Колмогорова с нелокальной нелинейностью в квазиклассическом приближении
4.1.3. Модели систем, для описания которых необходимы элементы функционального анализа
Опционы европейского и американского типов. Модель Блэка – Шолца. Модель Солоу. Модель диффузионного приближения в замкнутых экономических системах. Уравнение Фоккера – Планка – Колмогорова, вывод. Общее, прямое, обратное уравнения Колмогорова. Виннеровские процессы, их распределение, математическое ожидание и дисперсия. Преобразование Ито – одномерный и многомерный случай. Волатильность, ценообразование пакетов акций. Безрисковые активы. Модели формирования оптимальных инвестиционных портфелей.
4.2 Структура дисциплины по разделам и формам организации обучения
Таблица 1
Структура дисциплины по разделам и формам организации обучения
№ | Название раздела/темы | Аудиторная работа (час) | СРС (час) | Итого | Формы текущего контроля и аттестации | ||
Лекции | Практ./ семинар | Лаб. зан. | |||||
1 | Анализ в функциональных пространствах | 4 | 4 | 0 | 34 | 42 | Отчеты по ИЗ |
2 | Стохастические дифференциальные уравнения. | 4 | 4 | 10 | 66 | 84 | Отчеты по лабораторным работам и ИЗ |
3 | Модели cистем, для описания которых необходимы элементы функционального анализа | 8 | 0 | 14 | 68 | 90 | Отчеты по лабораторным работами ИЗ |
Аттестация за 3 семестр | Экз., ДифЗач., КП | ||||||
итого | 16 | 8 | 24 | 168 | 216 |
5. Образовательные технологии
Для успешного освоения дисциплины применяются различные образовательные технологии, которые обеспечивают достижение планируемых результатов обучения согласно основной образовательной программе.
Перечень методов обучения и форм организации обучения представлен таблицей 2.
Таблица 2
Методы и формы организации обучения (ФОО)
ФОО Методы | Лекции | Практические/семинарские занятия | Тренинг Мастер-класс | СРС |
IT-методы | x | x | ||
Работа в команде | х | х | ||
Case-study | ||||
Игра | ||||
Поисковый метод | х | х | ||
Проектный метод | ||||
Исследовательский метод | х | х | х |
6. Организация и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы магистрантов (СРМ)
Самостоятельная работа магистрантов по дисциплине включает текущую самостоятельную работу.
6.1 Текущая самостоятельная работа
Текущая самостоятельная работа направлена на углубление и закрепление знаний, развитие практических умений и представляет собой:
ü работа с лекционным материалом, поиск и обзор литературы и электронных источников информации по темам курса;
ü выполнение индивидуальных заданий;
ü опережающая самостоятельная работа;
ü изучение тем вынесенных на самостоятельную проработку;
ü подготовка к практическим занятиям и лабораторным работам;
ü подготовка к экзамену.
6.2 Творческая проблемно-ориентированная самостоятельная работа
Творческая проблемно-ориентированная самостоятельная работа направлена на развитие интеллектуальных умений, комплекса универсальных (общекультурных) и профессиональных компетенций, повышение творческого потенциала и представляет собой:
ü поиск, анализ, структурирование и презентация информации;
6.3 Содержание самостоятельной работы магистрантов по дисциплине
Темы индивидуальных заданий:
1. Анализ в функциональных пространствах
2. Стохастические дифференциальные уравнения.
3. Модели cистем, для описания которых необходимы элементы функционального анализа
6.4 Контроль самостоятельной магистрантов
Контроль СРМ проводится путем проверки работ, предложенных для выполнения в качестве домашних заданий согласно разделу 6.2. и рейтинг-плану освоения дисциплины. Одним из основных видов контроля СРМ является проверка индивидуальных заданий и лабораторных работ, являющихся важным звеном в освоении студентом данной дисциплины.
6.5 Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы Для организации самостоятельной работы рекомендуется использование литературы и Internet-ресурсов согласно перечню раздела “9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины”. Предусмотрено использование специализированного программного обеспечения в процессе освоения дисциплины.
7. Средства (ФОС) текущей и итоговой оценки качества освоения дисциплины
7.1. Текущий контроль.
Средствами оценки текущей успеваемости студентов по ходу освоения дисциплины является перечень вопросов, ответы на которые дают возможность студенту продемонстрировать, а преподавателю оценить степень усвоения теоретических и фактических знаний на уровне знакомства:
7.1.1 Вопросы
1 Примеры ограниченных линейных операторов, вычисление и оценка их норм.
2 Условия обратимости и необратимости оператора.
3 Теорема о спектре ограниченного оператора и об условиях разложимости резольвенты в ряд Лорана.
4 Спектр оператора
5 Вполне непрерывные операторы и их свойства.
6 Альтернатива Фредгольма и теорема о спектре компактного оператора. Приложения теории к интегральным уравнениям.
7 Существование и свойства сопряженного оператора (случай гильбертова пространства).
8 Свойства спектра самосопряженного оператора. Теорема Гильберта о спектре компактного самосопряженного оператора.
9 Сходимость случайных процессов почти наверное, по вероятности, по распределению. Соотношения между различными видами сходимости. Сходимость случайных процессов в среднеквадратичном.
10 Вычисление начальных и центральных моментов для нормально распределенных случайных величин.
11 Ковариационная функция. Свойства ковариационной функции.
12 Непрерывные в среднеквадратичном процессы. Критерий непрерывности в среднеквадратичном.
13 Дифференцируемость в среднеквадратичном Критерий дифференцируемости в среднеквадратичном.
14 Винеровский процесс. Определение и основные свойства.
15 Интеграл Ито.
16 Формула интегрирования многочленов. Формула Ито.
17 Процесс Орнштейна – Уленбека. Способ нахождения решения уравнения.
18 Уравнение Блэка – Шоулса. Допущения модели Блэка – Шоулса.
19 Операция дельта-хеджирования в модели Блэка – Шоулса.
20 Процесс Пуассона. Вывод.
21 Опционы европейского и американского типов.
22 Модель Блэка – Шолца. Модель Солоу. Модель диффузионного приближения в замкнутых экономических системах.
23 Уравнение Фоккера – Планка – Колмогорова, вывод. Общее, прямое, обратное уравнения Колмогорова.
24 Модели формирования оптимальных инвестиционных портфелей.
На основе данных вопросов составлены тестовые задания, позволяющие контролировать качество усвоения студентами теоретического материала курса. Занятия, на которых предлагаются тестовые задания, указаны в рейтинг-плане дисциплины.
7.1.2. Образцы экзаменационных билетов
Билет № 1
1. Вполне непрерывные операторы и их свойства.
2. Сходимость случайных процессов почти наверное, по вероятности, по распределению, в среднеквадратичном. Соотношения между различными видами сходимости.
3. Задачи
7.2. Промежуточный контроль.
Данный вид контроля производится на основе баллов, полученных студентом при написании контрольных работ и индивидуальных заданий. Результаты промежуточного контроля оцениваются в баллах в соответствии с прилагаемым рейтинг-планом.
7.3. Итоговый контроль.
Итоговым контролем является семестровый экзамен и зачет.
8. Рейтинг качества освоения дисциплины (модуля)
Оценка качества освоения дисциплины в ходе текущей и промежуточной аттестации обучающихся осуществляется в соответствии с «Руководящими материалами по текущему контролю успеваемости, промежуточной и итоговой аттестации студентов Томского политехнического университета», утвержденными приказом ректора № 77/од от 01.01.2001 г.
В соответствии с «Календарным планом изучения дисциплины»:
- текущая аттестация (оценка качества усвоения теоретического материала (ответы на вопросы и др.) и результаты практической деятельности (решение задач, выполнение заданий, решение проблем и др.) производится в течение семестра (оценивается в баллах (максимально 60 баллов), к моменту завершения семестра студент должен набрать не менее 33 баллов);
- промежуточная аттестация (экзамен) производится в конце семестра (оценивается в баллах (максимально 40 баллов), на экзамене студент должен набрать не менее 22 баллов).
Итоговый рейтинг по дисциплине определяется суммированием баллов, полученных в ходе текущей и промежуточной аттестаций. Максимальный итоговый рейтинг соответствует 100 баллам.
9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
9.1. Основная литература
1. , , Элементы теории функций и функционального анализа. Физматлит, 2004.
2 , , Функциональный анализ. – С.-П.., Невский диалект, 2004.
3. , Задачи по функциональному анализу, МИЭМ, 1987.
4. , Функциональный анализ: Задачи и упражнения, Кнорус, 2013
5. Вентцель случайных процессов и ее инженерные приложения: учебное пособие для студентов втузов. - Изд. 4-е, стер. - Москва: Высшая школа, 2007. - 477 с.
9.2. Дополнительная литература
1. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1977.
2. Теория операторов. – М.: Изд-во МГУ, 1986. – 368 с.
9.3. Internet-ресурсы:
http://www. edu. ru/ - Федеральный портал «Российское образование»;
http://www. lib. mexmat. ru - Электронная библиотека механико-математического факультета Московского государственного университета;
http://www. mathnet. ru/ - Общероссийский математический портал Math-Net. Ru — это современная информационная система, предоставляющая российским и зарубежным математикам различные возможности в поиске информации о математической жизни в России;
http://www. benran. ru/ - Библиотека по естественным наукам Российской Академии Наук.
10. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Освоение дисциплины производится на базе учебных аудиторий кафедры ВММФ ФТИ (ауд. 307, 412, 421) 10 учебного корпуса ТПУ. Аудитории оснащены современным оборудованием (компьютер, видеопроектор, интерактивная доска), позволяющим проводить лекционные и практические занятия на высоком профессиональном уровне.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС, с учетом рекомендаций примерной ООП по направлению и профилю подготовки.
Программа одобрена на заседании кафедры ВММФ Физико-технического института (протокол № ___ от «____» _________ 2015 г.).
Автор | доцент кафедры ВММФ ФТИ |
Рецензент |
