, ,
НГТУ им.
ПОЛУЧЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ТИПИЧНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАДАЧ ЗАЖИГАНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЕ ИХ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
Основные законы сохранения математической модели для зажигания можно представить в виде:
Одним из наиболее часто применяемых методов используемых для получения конечно-разностного представления является метод разложения в ряды Тейлора. На рис.1 представлен шаблон.
Рис.1. Шаблон используемый для конечно-разностного представления исходного уравнения
Шаги сетки в направлениях i и n обозначаются через 
и 
соответственно. Предположим непрерывность производных и раскладываем 
в ряд Тейлора в окрестности точки (i, n)
В результате получаем конечно-разностное представление производных:
, 
.
Таким образом, разностный аналог исходного уравнения может быть представлен в виде:
Выразив искомую величину 
получим явную схему для решения данного уравнения.
Исследуем полученную явную схему на устойчивость методом дискретных возмущений, который представляет собой обобщение метода, впервые использованного Томом и Апельтом и развитого Томаном и Шевчиком. В уравнения в некоторой точке вводится дискретное возмущение величины и прослеживается влияние этого возмущения. Конечно-разностная схема будет устойчивой, если возмущения затухают. Предполагая, что 
- постоянны на каждом шаге по времени и F=0 рассмотрим уравнение
и предположим, что найденное стационарное решение 
для всех i. Введём в решение 
возмущение e, тогда получим:
или 
.
В силу требования устойчивости эти возмущения должны затухать. Для первого шага по времени это приводит к условию:
.
Рассмотрим подробнее неравенство 
, тогда получаем 
. В силу того, что 
имеем 
или 
. С другой стороны 
, т. е. 
или 
. Аналогично вычисляются возмущения в соседних точках. Таким образом, полученная явная конечно-разностная схема имеет ограничения на шаг. Неявная схема для данного уравнения принимает трехдиагональный вид и сходится в силу сходимости прогонки.
Рассмотрим решение данного уравнения на основе итерационно-интерполяционного метода. Согласно [1] получаем разностную схему, включающую производные по времени от исходной функции:
Как следует из логической схемы ИИМ, точность приближенного решения задачи можно повысить, увеличивая число итераций или число интерполяционных узлов (свободных параметров), а также путем задания более точного начального приближения.
Если фиксируется число интерполяционных узлов, то точность приближений, так же как и в известном методе последовательных приближений Пикара, увеличивается, если сходится процесс итераций.
На основе полученных разностных схем была решена задача о взаимодействии холодного реагирующего цилиндра с нагретой окружающей средой. Расчеты показали, что применение разностной схемы, полученной на основе итерационно-интерполяционного метода дает решение на более крупных сетках при той же заданной погрешности. Кроме того, если использовать конечно-разностное представление производной по времени можно получить семейство разностных схем. Однако это приведет к необходимости исследовать данные схемы на сходимость и устойчивость в то время как решение трех диагональной системы и затем применение методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений не требует дополнительных исследование на устойчивость.
Список литературы:
1. Катаева итерационно-интерполяционного метода к решению задачи зажигания элемента лесного горючего материала (ЛГМ) в форме бесконечного цилиндра// Материалы международной конференции «Сопряженные задачи механики и экологии». Изд-во Томского университета, 2000. С.122-125.
2. О тепло - и массо-обмене бесконечного реагирую-щего цилиндра с нагретой средой с учетом вдува газо-образных горючих продуктов, а также гомогенных и гетерогенных реакций// Изв. АИН РФ, ПММ Т.9, 2004.
3. , , Крайнов методы решения типичного уравнения задач зажигания// Изв. АИН РФ, ПММ Т20, 2007, с.26-32.
4. , Карпухин и численное моделирование аэро - и гидродинамических процессов природного и техногенного характера. М.: РГОТУПС, 2007. – 213 с.
5. О зажигании реагирующих веществ // ПМТФ. Москва: Академия наук СССР, №5, 1966, с 25-30
6. О приближенном решении некоторых задач гидродинамики пограничного слоя. ПММ, 1949, т. 13, вып. 3.
7. , О сопряженном теплообмене между нагретыми инертными телами и реакционноспособной средой. –В кн.: Тепло - и массоперенос. Т.2. Ч.2. Минск: Изд-во ИТМО АН БССР, 1972, с.286-294.
