Практическая работа по теме: Нахождение скорости и ускорения

Выполните на листах для практических работ. Принести 09.03.2016г.

Практическая работа

по теме: Нахождение скорости и ускорения

Цель: повторить теоретические основы темы и выполнить задания.

Порядок выполнения:

1 Повторите теоретические основы темы:

Напомним, как определялась скорость движения в курсе физики. Рассмотрим самый простой случай: материальная точка движется по координатной прямой, причем задан закон движения, т. е. координата х этой точки есть известная функция х(t) времени t. За промежуток времени от t0) до t0) + Δt перемещение точки равно х (t0) + Δt) — х (t0)) = Δх, а ее средняя скорость такова:
При Δt<0 формула (1) также верна: перемещение равно х (t0))—x (t0)+Δt) = —Δх, а продолжительность промежутка времени равна -Δt.

Обычно характер движения бывает таким, что при малых Δt средняя скорость практически не меняется, т. е. движение с большой степенью точности можно считать равномерным (см. пример п. 13). Другими словами, значение средней скорости при Δt→0 стремится к некоторому вполне определенному значению, которое и называют мгновенной скоростью v (t0) материальной точки в момент времени to. Итак,

при

Но по определению производной при

Поэтому считают, что мгновенная скорость v (t) определена (только) для любой дифференцируемой функции x(t), при этом Производная от координаты по времени есть скорость. В этом состоит механический смысл производной.

Мгновенная скорость может принимать как положительные, так и отрицательные значения и, конечно, значение 0. Если скорость на каком-либо промежутке времени (t1; t2) положительна, то точка движется в положительном направлении, т. е. координата растет с течением времени, а если v (t) отрицательна, то координата х (t) убывает.

Аналогичное положение и с ускорением движения. Скорость движения точки есть функция от времени t. А производная этой функции называется ускорением движения: Производная от скорости по времени есть ускорение.

Пример № 1

Материальная точка движется по закону: x(t)=−15t5+t4−t3+5t, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите скорость точки (в м/с) в момент времени t=2c.

Это означает, что у нас есть функция, задающая расстояние, а нужно посчитать скорость в момент времени t=2c. Другими словами, нам нужно найти v, т. е. v=S′=x′(2)

В первую очередь, посчитаем производную:

x′(t)=−15⋅5t4+4t3−3t2+5

x′(t)=−t4+4t3−3t2+5

Нам требуется найти производную в точке 2. Давайте подставим:

x′(2)=−24+4⋅23−3⋅22+5=−16+32−12+5=9

Итого, скорость нашей материальной точки в момент времени t=2c составит 9 м/с.

Пример № 2

Материальная точка движется по закону: x(t)=13t3−4t2+19t−11, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени ее скорость была равна 3 м/с?

В предыдущем примере от нас требовалось найти v в момент времени 2 с, а в этом от нас требуется найти тот самый момент, когда эта скорость будет равна 3 м/с. Можно сказать, что нам известно конечное значение, а по этому конечному значению нам требуется найти исходное.

В первую очередь, вновь ищем производную:

x′(t)=13⋅3t2−4⋅2t+19

x′(t)=t2−8t+19

Нам требуется найти, в какой момент времени скорость будет равна 3 м/с. Составляем и решаем уравнение, чтобы найти физический смысл производной:

t2−8t+19=3

t2−8t+16=0

(t−4)2=0

t−4=0

t=4

Полученное число означает, что в момент времени 4 с v материальной точки, движущейся по выше описанному закону, как раз и будет равна 3 м/с.

2 Выполните задание:

1. Материальная точка движется прямолинейно по закону  x (t) = t2 – 7t – 20, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 5 c.

2. Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = (1/6) t2 + 5t + 28, где x — расстояние от точки отсчета в метрах,  t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 6 м/с?

3. Дано уравнение прямолинейного движения тела: S=3t2 +2, где S - путь, пройденный телом, м; t - время, с. Найдите скорость тела в момент времени t=1 c.

3 Запишите вывод