Задача. Расчет статически неопределимых систем

Задача. Расчет статически неопределимых систем.

Дано: М1=30кН∙м; М2=20 кН∙м; q=20 кН/м; а=2м; b=4 м. Примем [σ]=200 МПа, [τ]=100 МПа.

1) Определить М и Q;

2)Построить эпюры Qy и Мх;

3) Подобрать сечение двутавровой балки;

4) Проверить прочность балки по касательным напряжениям.

Рис.1

Решение:

1 В шарнирных опорах А и С балка имеет по одной вертикальной реакции. В неподвижной опоре В две реакции. Так как неизвестных реакций четыре, а уравнений равновесия можно составить три, то задача один раза статически неопределима.

2 Для неразрезной балки в качестве основной системы выбираем такую же балку но с врезанными шарнирами на промежуточной опоре в шарнирах.

3 К основной системе приложим заданную нагрузку, определим реакции опор и построим эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки причем внешний момент в шарнире С приложим к правой, наименее нагруженной балочке.

Участок АС

кН;

кН.

Проверка: Σy=0; 20+20-20∙2=0, реакции определены верно.

Участок СВ

кН;

кН.

Проверка: Σy=0; 12,5-12,5=0, реакции определены верно.

Построим эпюры Q и М.

Участок АС

Q(A)=20 кН; Q(С)=20кН; Q(а/2)=0 кН.

М(A)=0 кН∙м; М(С)=0к Н∙м; М(а/2)=20∙1=10 кН∙м

Участок СВ

Q(С)=-12,5 кН; Q(В)=-12,5кН.

М(С)=М1=30 кН∙м; М(В)=-20 кН∙м.

Момент равен нулю в точке м от точки В.

Определим площади и ординаты центров тяжести.

ωМ1=30∙2,4=72, центр тяжести лежит на расстоянии 2,4/3=0,8 от т. С ωМ2=20∙1,6=32 центр тяжести лежит на расстоянии 1,6/3=0,533 от т. В

ωq=2/3··а=2/3·20··2=53,3

4 Снимаем заданную нагрузку, прикладываем в точке С Х1=1 и строим эпюру изгибающих моментов, для чего определим реакции в точках А и В.

1∙а+R1B∙(a+b), откуда R1B=кН

-1∙b-R1A∙(a+b), откуда R1A=кН

Проверка: Σy=0; 1-0,33-0,66=0, реакции определены верно.

Построим эпюру моментов, определим площадь и ординаты центра тяжести.

Участок АС

М(A)=0 кН∙м; М(С)=-0,66∙2=-1,34 кН∙м

Участок СВ

М(С)=-0,33∙4=-1,32 кН∙м; М(С)=0 кН∙м.

ω М R1A=-1,32∙2=-2,68 центр тяжести лежит на расстоянии 2/3∙а=1,33 от т. А

ξ М R1A = R1A ∙1,33=-0,66∙1,33=-0,89

ω М R1В=-1,32∙4=-5,28 центр тяжести лежит на расстоянии 2/3∙b=2,67 от т. B

ξ М R1В = R1В ∙2,67=-0,33∙2,67=-0,89

5 Составим каноническое уравнение

δ11·Х1+Δ1Р=0.

Оно выражает условие равенства нулю прогиба в этой точке от действия заданных сил.

6 Определим коэффициенты канонического уравнения.

Перемножим эпюру М1 саму на себя

δ11= ω М R1A∙ ξ М R1A+ω М R1В∙ ξ М R1В=-2,64∙(-0,89)-5,28∙(-0,89)=7,06

Перемножим эпюры М1 и Мр, для чего определим ординаты на эпюре М1 для центров тяжести площадей Мр.

ξ1 q = R1A ∙а/2=-0,66

ξ1М1= R1В ∙(b-0,8)=-0,33∙3,2=-1,07

ξ1М2= R1В ∙0,533=-0,33∙0,533=-0,18

Δ1Р= ωq∙ξ1 q+ωМ1∙ ξ1М1+ωМ2∙ ξ1М2=53,3∙(-0,667)+72∙(-1,07)-32∙(-0,178)=-106,7

7 Решим каноническое уравнение.

8 К балке прикладываем заданную нагрузку и найденную нагрузку. Определяем реакции опор и строим эпюры Q и М.

кН;

кН;

кН.

Проверка: Σy=0; 35,07-20∙2+(-15,1)+20,03=0, реакции определены верно.

Рис.2

Построим эпюры Q и М.

Участок АС

Q(A)=35,07 кН; Q(С)=35,07-20∙2=-4,93 кН;

На концах участка функция меняет знак. В этой точке эпюра моментов будет иметь экстремум.

х=м

М(A)=0 кН∙м; М(С)=35,07∙2=30,13 кН∙м;

М(1,75)=35,07∙1,75=30,74 кН∙м

Участок СВ

Q(СВ)=-20,03 кН

М(В)=-М2=-20 кН∙м; М(С)=-20+20,03∙4=60,13 кН∙м.

В точке схода С эпюра силы имеет скачок равный величине Х1=15,1 кН, эпюра моментов имеет скачок равный М1=30 кН∙м

Максимальный изгибающий момент в т. С Мmax=60,13 кН∙м.

Из условия прочности

Подберем размеры двутавра. Подбор сечения ведем из условия прочности.

В опасном сечении расчетный момент сопротивления

Wmax ≥ cм3.

По таблице сортамента выбираем двутавр № 27, для которого Wх=372 cм3.

Рис.3

Проверим выбранный двутавр по максимальным касательным напряжениям, которые возникают в точке 2 (центра двутавра, см. рис3) при максимальной поперечной силе (в программе – способ 2).

Расчет проводится по формуле Журавского: ,

где Qmax =35,07кН – максимальная поперечная сила, найденная из эпюр, Sx=210 см3– статический момент полусечения, d=0,6 см – толщина стенки двутавра, Jx=5010 см4– момент инерции сечения (по таблице сортамента).

Далее в соответствии с принятой теорией прочности определяется эквивалентное напряжение. Для пластичных материалов (сталь – пластичный материал) принимается III или IV теории прочности. По III теории:

.

В точке 2 s = 0, поэтому

sэкв= 2tmax=49 МПа

Условие прочности sэкв£ [s]=200 МПа выполняется, принимаем двутавр №27.