Вчіться розв'язувати задачі

Вчіться розв'язувати задачі

Уміння розв'язувати задачі, які виникають під час роботи (і формулювати їх, і уточнювати!), необхідно й економісту, й лікарю, і юристу, і воєначальнику. А для успішного розв'язання, як говорив Декарт, необхідний метод.

Запропоновані рекомендації не є казковим ключем до розв'язання будь-якої задачі. Але вони спрямовують думку, скорочують час пошуку, формують навички розв'язування. Але щоб одержати відчутну користь від знайомства з готовим розв'язком, необхідно, уловивши нову ідею, розв'язувати самостійно.

Звичайно, прийоми та ідеї розв'язання потрібно міцно засвоїти, щоб вони самі приходили в голову. Але поки вони ще не засвоєні і не стали навичками, списками рекомендацій можна користуватися як пам'яткою. Подаємо чотири списки рекомендацій, відповідно до основних етапів розв'язання:

1.  Вивчення задачі.

2.  Пошук розв'язання.

3.  Здійснення плану розв'язання, обґрунтування і перевірка.

4.  Завершальний етап.

1. Вивчення задачі

Усі, перераховані нижче дії, мають одну мету: досконально вивчити задачу. Без цього не варто розраховувати на успіх.

Рекомендації

Перші кроки

1.1. Дізнатися, що дано: які задано об'єкти (елементи), що про них відомо (їх властивості, ознаки), як зв'язані між собою дані об'єкти.

1.2. Розподілити все, що дано, на окремі частини (їх називають ще умовами задачі).

1.3. Зрозуміти, що треба знайти або довести: які об'єкти вимагається

визначити, що про них відомо, як вони пов'язані між собою і, по можливості, як вони пов'язані з даними об'єктами, яку властивість треба встановити.

1.4. Розподілити все, що треба знайти, на окремі частини (їх називають вимогами задачі).

1.5. Спробувати зрозуміти, як виглядає кінцевий результат, яким він є, від чого залежить. Наприклад, якщо треба знайти число, корисно прикинути, чому воно дорівнює, яким воно може бути.

1.6. Записати умови і вимоги задачі та перевірити, чи всі вони записані.

1.7. Переконатися, що зрозуміле кожне слово, кожен термін з тексту задачі. Замінити математичні терміни їх означеннями.

Подальше вивчення задачі

1.8.Якщо дані або шукані елементи не позначені, ввести відповідні позначення для символічного запису всіх умов і вимог задачі.

1.9.Побудувати модель задачі: намалювати схему, скласти рівняння, зробити креслення (рисунок).

Креслення повинно бути, по можливості, точним, не дрібним, не для окремого випадку.

На рисунку треба зобразити все, що дано в умові, і, по можливості, все, що відомо про дані й шукані елементи. Бажано виділити дані елементи. Наприклад, обвести їх товщими лініями або виділити іншим кольором, дану точку обвести кружком.

Розв'язання деяких стереометричних задач, значно полегшується, якщо зробити модель із сірників і пластиліну. Сірники обламують так, щоб їх довжини були приблизно пропорційні розмірам, зазначеним у задачі. Іноді частину креслення, наприклад якийсь перетин, доцільно побудувати окремо (виносне креслення).

1.10.Визначити, за яких обмежень задача має сенс. Наприклад, визначити ОДЗ - область допустимих значень.

1.11.Спробувати визначити (замислитися): чи є умови достатніми для розв'язання задачі? Або надмірними? Або суперечливими? Чи має сенс те, що треба довести?

2. Пошук розв'язання

Виконуючи той або інший крок, потрібно не випустити з уваги головну мету: як, використовуючи умови задачі, одержати кінцевий результат.

Не слід думати, що всі рекомендації використовуються В КОЖНІЙ задачі. Не допомогла одна - пробують іншу. Ті, що залишилися, можна використовувати для перевірки або пошуку іншого способу розв'язання.

Рекомендації

Початок пошуку

2.1. Спробувати пригадати, чи не зустрічалася раніше схожа задача. У чому її схожість з даною, у чому відмінність?

2.2. Продумати, які формули, теореми, означення могли б тут стати у пригоді.

2.3. Висунути декілька гіпотез (припущень) про перший, про наступний кроки, про спосіб розв'язання в цілому, а потім оцінити, по можливості, перспективність і цінність цих гіпотез.

Вибір напряму

2.4. Спробувати перетворити початкові дані (видозмінити те, що дано), знайти висновок, наслідок з умови задачі. Тут можуть бути корисні допоміжні питання: «Як використовувати те, що дано? Як перетворити початкові дані? Що безпосередньо випливає з умов задачі? Що можна знайти (встановити) одразу?»

Перетворити початкові дані, одержати наслідок з умови - значить зробити перший крок у пошуку розв'язання.

2.5. Спробувати розв'язувати від початку до кінця. Це значить: одержати наслідки з умови задачі; вибрати з них той, який, мабуть, швидше дасть результат; вивести наслідок із першого наслідку і т. д. Цей спосіб розв'язання ще називають «від даних до шуканих».

2.6. Спробувати перетворити кінцевий результат, знайти висновок (твердження), з якого його можна одержати. Тут можуть допомогти питання: «У чому полягає мета? Як її досягти? Що треба знати, щоб одержати кінцевий результат? З чого можна його одержати?»

Перетворити кінцевий результат, знайти, з чого він випливає - означає зробити перший крок у пошуку розв'язування від кінця.

2.7.  Шукати розв'язання від кінця до початку, а саме, знаючи кінцевий результат, знайти, з чого він випливає, тобто знайти передостанній результат. Потім знайти, з чого можна його одержати, і т. д. Цей спосіб пошуку називають ще «від шуканих до даних».

2.8.  Спробувати розв'язувати одночасно від кінця і від початку.

Видозміна задачі

2.9.  Використовувати тільки частину умови, а іншу тимчасово не враховувати. А потім виконати те ж з іншою частиною.

2.10. Ввести нові змінні

2.11.Зробити додаткову побудову.

2.12.Змінити щось на рисунку (розмір або розташування одного з елементів рисунку).

2.13.Розв'язати спочатку схожу (близьку) задачу: з іншими умовами або з іншими вимогами, простішу або загальнішу.

2.14.Розглянути окремі або граничні випадки.

2.15.Розділити задачу на частини і розв'язувати їх окремо.

2.16.Застосувати метод вичерпних проб, тобто перебрати, якщо це можливо, різні випадки.

2.17.Використовувати векторний метод, метод координат.

2.18.Спробувати застосувати метод доведення від супротивного.

2.19.Видозмінити задачу.

2.20. Скласти план розв'язування - короткий перелік дій, виконуючи які одне за іншим, можна одержати кінцевий результат.

3. Здійснення плану, обґрунтування і перевірка

Рекомендації

3.1. Перевірити, чи немає явних помилок в плані, чи немає зайвих дій, і приступити до його здійснення.

3.2. Паралельно із здійсненням плану провести обґрунтування і перевірку:

а) перевірити обчислення, перетворення, проміжні та остаточні результати, здійснити прикидку результату;

б) провести обґрунтування кожного кроку;

в) перевірити, чи всі можливі випадки розглянуто;

г) перевірити, чи всі умови задачі використано, чи всі вимоги виконано;

д) перевірити, чи не суперечить результат здоровому глузду

4. Завершальний етап розв'язання задачі

Рекомендації

4.1. Дослідити розв'язання, тобто з'ясувати:

а) за яких умов розв'язання існує і за яких його немає;

б) скільки можливо різних розв'язків.

Якщо в умові задачі на побудову не накладається ніяких обмежень на положення шуканої фігури, то рівні фігури вважають за один розв'язок; інакше їх вважають різними розв'язками.

4.2. Відповісти на питання: чи все дано в умові, що необхідно для розв'язання? Чи немає в умові зайвих даних?

4.3. Скласти подібну, зворотну, більш загальну задачу.

4.4. Крім того, дуже бажано спробувати знайти інші способи розв'язання, порівняти їх і вибрати найкращий (найкоротший, витонченіший).

4.5. Визначити можливі застосування здобутого результату, знайденого способу розв'язання.

Доповнення

Корисно поставити собі наступні питання:

1 Що мені особисто дала ця задача?

2 Які мої дії були вдалими?

3 Що допомогло знайти розв'язання - відома формула, теорема, новий прийом, якась деталь у формулюванні задачі?

4 За рахунок чого у пошуку можна було швидше дійти мети?

5 Який прийом, формулу потрібно запам'ятати?

6 Що заважало, в чому причина невдачі?

7На яку помилку слід звернути увагу, щоб вона не повторилася?

Ця робота - підбиття підсумків, аналіз своєї діяльності, висновки на майбутнє - триває недовго. Але якщо виробити звичку і виконувати її щоразу, то з'явиться можливість розв'язувати складніші задачі і одержувати більше задоволення.