(аспирант)
расчет глубины распространения амплитуды колебаний виброснаряда в грунте
г. Балаково, Балаковский институт техники, технологии и управления
(филиал) ГОУ ВПО СГТУ
Виброснаряд вовлекает в колебания прилегающий к нему грунт в перпендикулярном направлении относительно оси проходки. Энергия колебаний, передаваемая грунту виброснарядом, снижает силы трения и сцепления между частицами грунта, в результате чего уменьшаются предельные напряжения на поверхности уплотняющих сегментов, необходимые для вытеснения частиц грунта в зону уплотнения, а следовательно снижает усилие протяжки виброснаряда по скважине.
В основу теоретических исследований по взаимодействию вибрационного снаряда с грунтом была положена идея Рейнольдса о единстве процесса переноса тепловой и механической энергии. К грунту, на который воздействует виброснаряд, энергия подводится периодическими импульсами с частотой равной частоте колебаний вибрационного снаряда [1]. Подводимая энергия, в соответствии с законом её сохранения, не исчезает бесследно, а передаётся от одних частиц грунта к другим через точки их соприкосновения (контакты), расходуясь на изменение структуры грунта. В связи с этим процесса распространения колебаний в грунте можно уподобить процессу теплопередачи.
При этом процесс взаимодействия вибрационного снаряда с грунтом зависит от очень большого числа факторов. К ним относятся: режим колебаний (амплитуда, частота), направление колебаний, режим работы виброснаряда, тип грунта и его физико-механические свойства, геологическое давление и другие факторы. Учесть все эти факторы не представляется возможным, поэтому при рассмотрении поставленной задачи исследуются лишь основные факторы, оказывающие наибольшее воздействие на процесс взаимодействия виброснаряда с грунтом. Силы внутреннего трения и сцепления между частицами грунта являются одним из главных механических свойств грунта влияющих на удельное сопротивление протяжке виброснаряда. Интенсивность изменения этих сил на расстоянии от поверхности виброснаряда неодинакова. Разность в значениях этих сил в статике и при вибрации можно принять за показатель, характеризующий изменение сил внутреннего трения и сцепления между частицами грунта при вибрации.
Задача теоретических исследований заключаться в определении сил внутреннего трения и сцепления между частицами грунта в отдельных точках, удаленных от поверхности вибрационного снаряда, в любой момент времени t. С математической точки зрения эта задача сводится к нахождению изменения в грунте сил внутреннего трения и сцепления между частицами в виде функции:
(1)
где: FB – изменение сил внутреннего трения и сцепления между частицами грунта, Н;
x,y,z – координаты в трехмерном пространстве, м;
t время, с.
Определим указанную зависимость (1) в виде дифференциального уравнения. Для этого выделим в грунте элементарный объем в форме параллелепипеда (рис. 1). Оси координат x,y,z расположим по ребрам параллелепипеда в направлении распространения колебаний. Тогда объем выделенного параллелепипеда определится:
(2)
Рис. 1. Элементарный объем грунта в виде параллелепипеда
Количество энергии, передаваемой за время dt через три смежные грани параллелепипеда (рис. 1), может быть представлено системой уравнений (3):
(3)
где: 
– удельные потоки энергии через грань вдоль соответствующих осей координат, 
.
Рис. 2. Схема передачи энергии
Величина удельных потоков энергии может быть выражена через изменение сил трения и сцепления в элементарном объеме грунта:
; 
; 
(4)
где: 
– коэффициент, характеризующий свойство грунта передавать энергию, представляющий собой площадь контактов отдельных частиц грунта, м2;
– поправочный коэффициент, 
.
Полагая, что удельные потоки энергии при распространении колебаний от одной грани параллелепипеда до противоположной, изменяются линейно можно определить количество энергии уходящей из противоположных граней параллелепипеда:
(5)
Разность между количеством энергии, поступающей в выделенный элементарный объем грунта и количество энергии, ушедшей из него, будет затрачена на уменьшение сил внутреннего трения и сцепления между частицами грунта.
Затрату энергии на изменение сил внутреннего трения и сцепления в элементарном объеме грунта за отрезок времени dt можно представить в виде:
(6)
где: 
– коэффициент разобщенности грунта, 
.
Величина 
может быть представлена через уравнение баланса энергии в элементарном объеме:
(7)
Учитывая зависимости (5) и (6), уравнение (7) можно преобразовать к следующему виду:
(8)
Подставляя вместо 
их значения из формулы (4) получим:
(9)
Принимая грунт за однородную среду, тогда коэффициент 
не зависит от направления колебаний и уравнение (9) можно записать в виде:
(10)
Так как величины 
и 
обратно пропорциональны, имеем:
(11)
Множитель 
представляет собой площадь контактов между отдельными частицами грунта в единицу времени.
Множитель 
является оператором Лапласа [2], который характеризует изменение сил внутреннего трения и сцепления в направлениях смежных граней выделенного бесконечно малого параллелепипеда. Обозначив, оператор Лапласа через 
, дифференциальное уравнение (11) может быть записано в виде:
(12)
где – изменение сил внутреннего трения и сцепления между частицами грунта при вибрации в выделенном бесконечно малом объеме, выраженное через переданную энергию колебаний.
Для случая кольцевого распространения колебаний выражение (11) примет вид:
(13)
где: r – расстояние распространения кольцевых колебаний по радиусу;
r0 – радиус источника колебаний.
Как следует из приведенного уравнения, при отсутствии площади контактов между частицами (
). Левая часть уравнения так же будет равна нулю (
), то есть изменение сил внутреннего трения и сцепления в выделенном объеме остается неизменным во времени. Чем больше площадь точек контакта между частицами, тем больше изменяется сила трения и сцепления между частицами грунта.
Для достижения одинакового эффекта при вибрировании величина изменения сил внутреннего трения и сцепления для грунтов с большой контактной площадью (глина) должна быть большей, чем для грунтов с меньшей контактной площадью (песок). В соответствии с этим затраты энергии для обработки грунтов с большей контактной площадью (глин) будет большей чем для грунтов с малой площадью контакта (песок).
Для нахождения изменения сил внутреннего трения и сцепления между частицами грунта определим начальные и граничные условия.
За начальное значение сил внутреннего трения и сцепления между частицами грунта принимаем значение, соответствующее статическому состоянию грунта, при этом плотность грунта и его физико-механические свойства одинаковы во всех направлениях, величина контактной площади 
постоянна в единице объема. Для нахождения изменений сил трения и сцепления в различных точках грунта, в качестве граничного условия можно применить известное значение сил внутреннего трения и сцепления на поверхности участка грунта, и потому знать подводимую энергию колебаний, а так же задаваться величиной сил внутреннего трения и сцепления на поверхности в месте подведения механической энергии.
Рассмотрим случай колебаний при кольцевом распространении энергии (для случая расширения вертикальных скважин виброснарядом). При этом величина сил внутреннего трения и сцепления между частицами грунта будет зависеть от трех координат, изменяться кольцевыми волнами по радиусу от источника колебаний, а уравнение имеет вид:
(14)
где: r – расстояние распространения кольцевых колебаний по радиусу;
r0 – радиус источника колебаний.
В результате математических преобразований, решение дифференциального уравнения (14) имеет вид:
(15)
Произведем преобразование полученного равенства. Так как выбор величины 
условиями неограничен, предположим что:
(16)
где 
– угловая частота колебаний виброснаряда.
Тогда
(17)
Поскольку 
, можно записать:
(18)
Подставляя данное значение 
в формулу (16) получим:
(19)
В соответствии с известной формулой Эйлера [2]:
(20)
Выбрав в формуле (19) знак минус, так как с увеличением расстояния от вибрационного снаряда разность значений между статической и динамической удельной силой сопротивления проколу грунта уменьшается, запишем значение FВ в окончательном виде:
(21)
Отбросим мнимую часть, как не удовлетворяющую граничному условию
(22)
где: D – произвольная постоянная, которая определяется из граничных условий;
– радиус кольцевого распространения колебаний от источника колебаний, м;
– поправочный коэффициент, 
;
– время колебаний, с.
При 
, 
уравнение (22) примет вид:
(23)
Поскольку сообщаемые грунту колебания являются периодическими по своей природе, то и изменение сил внутреннего трения и сцепления между частицами грунта так же будет следовать периодическому закону. Длительность периода изменения этой энергии будет определяться частотой импульсных воздействий вибрационного снаряда, а величина изменений будет зависеть от режима колебаний вибрационного снаряда и, следовательно, от величины подводимой механической энергии. Чем больше интенсивность колебаний виброснаряда, тем больше становится изменение сил внутреннего трения и сцепления между частицами грунта.
Количество подводимой к грунту энергии в единицу времени при одинаковой частоте колебаний вибрационного снаряда находится в прямой зависимости от амплитуды его колебаний.
Определим закономерность изменения амплитуды при гармонических колебаниях в зависимости от расстояния до вибрирующей поверхности, для этого составим дифференциальное уравнение [3]. На расстоянии 
от вибрирующей поверхности (рис. 3) выделим слой с амплитудой 
. Уменьшение амплитуды в слое, находящемся на расстоянии 
выше предыдущего, равно 
. Полагая, что изменение амплитуды в бесконечно малом слое прямо пропорционально ее величине, дифференциальное уравнение амплитуды затухающих колебаний можно представить в виде равенства:
(24)
где 
– коэффициент затухания амплитуды вибрации зависящий от физико-механических свойств материала и частоты вибрации, 1/м.
а – параметр, зависящий от физико-механических свойств грунта, имеющий размерность, м2/с, представляющий собой площадь контакта частиц грунта в единицу времени (для супеси а=6,5 м2/с, для глины а=12,56 м2/с)
Разделив перемещение и интегрируя, получим:
(25)
При 
амплитуда вибрации грунта равна амплитуде вибрирующей поверхности, т. е. 
.
Тогда амплитуда вибрации грунта на расстоянии 
от вибрирующей поверхности будет иметь вид:
(26)
Ввиду гармоничности колебаний, амплитуду вибрации поверхности в любой момент времени можно представить следующей зависимостью:
(27)
где – угловая частота колебаний вибрационного снаряда, рад/с;
– время, с;
– фазовый угол, соответствующий начальной фазе колебаний.
Рис. 3. Схема распространения амплитуды вибрации в материале
Подставляя выражение (27) в выражение (26), получим:
(28)
Так как амплитуда на вибрирующей поверхности принимает максимальное значение, то 
, то выражение (28) примет вид:
(29)
Анализируя уравнение (29) можно сделать вывод, что изменение сил внутреннего трения и сцепления между частицами грунта подчиняется тому же закону, что и затухание амплитуды колебаний в грунте.
Так как грунт оказывает сопротивление, распространению колебаний, поглощая подводимую механическую энергию, то и величина амплитуды 
и величина 
с удалением от рабочего наконечника будет иметь затухающий характер.
Для аналогичной кривой затухающего колебания изменение сил внутреннего трения и сцепления между частицами грунта можно записать в виде:
(30)
Учитывая, что 
, выражения (29) и (30) примут вид:
(31)
(32)
Анализируя полученные зависимости можно сделать вывод, что при выборе режима колебаний вибрационного наконечника необходимо учитывать характер и величину затухания колебаний, так как это напрямую влияет на изменение сил внутреннего трения и сцепления между частицами грунта. Другими словами, каждому типу грунта соответствует свой режим колебаний, который характеризуется амплитудой и частотой колебаний, что определяет эффективность работы вибрационного снаряда.
Список литературы.
1. Бауман машины и процессы в строительстве / , . – М.: Высшая школа, 1977. - 255с.
2. Пискунов и интегральное исчисления / . – М.: Интеграл-Пресс, 2001. – Т.2. - 544 с.
3. Ромакин истечения некоторых плохосыпучих сельскохозяйственных материалов из бункера с вибрирующим днищем: дис. … канд. техн. наук./ ; Сарат. ин-т. мех. с./х. им. Калинина. – Саратов, 1970.-315с.
