УДК 532.5
ОБТЕКАНИЕ БЕСКОНЕЧНОГО ВРАЩАЮЩЕГОСЯ КРУГОВОГО
ЦИЛИНДРА ОДНОРОДНЫМ ПОТОКОМ
*, **
* Псковский государственный университет,
Россия, Псков, *****@***ru
** Псковский государственный университет,
Россия, Псков, a. *****@***ru
Аннотация: Рассмотрена задача обтекания вращающегося с постоянной скоростью цилиндра однородным потоком несжимаемой вязкой жидкости. Скорость потока направлена перпендикулярно оси вращения цилиндра, поэтому задача определения полей скоростей и давлений считается плоской. Вместо уравнений Навье-Стокса используется уравнение Гельмгольца. Для плотности потенциала решения уравнения Гельмгольца, линеаризованного по Озеену, получено интегральное уравнение Фредгольма, которое решается численно.
Ключевые слова: несжимаемая вязкая жидкость, плоская задача гидродинамики, интегральные уравнения Фредгольма, функция тока.
Around an infinite ROTATING CIRCULAR CYLINDER uniform flow
I. A. Strochkov*, A. A. Hvattsev**
* Pskov State University,
Russia, Pskov, *****@***ru
** Pskov State University,
Russia, Pskov, a. *****@***ru
Abstract. The paper considers the problem of the flow around a rotating with a constant velocity of the cylinder of a homogeneous flow of an incompressible viscous fluid. The flow velocity perpendicular to the rotation axis of the cylinder, so the task of finding fields of velocity and pressure is flat. Instead of the Navier-Stokes equations is used Helmholtz equation. For the density of potential solutions to the Helmholtz equation, linearized on the Oseen obtained integral Fredholm equation which is solved numerically.
Keywords: incompressible viscous fluid, flat problem of hydrodynamics, problem theory of hydrodynamic greasing, Fredholm’s linear integral equations, stream function.
Круговой цилиндр радиуса R вращается относительно оси с угловой скоростью 
и обтекается однородным потоком (НВЖ) со скоростью 
, направленной перпендикулярно оси. В этих условиях задачу отыскания поля скоростей и давлений можно считать плоской.
Вместо уравнений Навье-Стокса
| (1) |
запишем уравнение Гельмгольца [1] для (НВЖ) в полярных координатах 
| (2) |
,где 
, 
(в приближении Озеена 
).
Выражение для 
соответствует распределению скорости при вращении кругового цилиндра в бесконечной области [1].
Переходя к безразмерным переменным
| (3) |
,перепишем (2) в виде
| (4) |
.Приведем (4) к каноническому виду, полагая 
при 
| (5) |
.Решением (5), зависящем только от r и обращающимся в ноль при 
, является [4]
| (6) |
,где 
функция Бесселя мнимого аргумента нулевого порядка (функция Макдональда).
Для получения интегрального представления решения (4) перенесем начало координат в точку 
окружности. По теореме косинусов (рис. 1)
,
| (7) |
.Подставляя (7) в (5), интегрируя по 
, получим
| (8) |
.Удовлетворяя условию несжимаемости жидкости, положим
| (9) |
Тогда 
, или, учитывая
| (10) |
.Решение уравнения Пуассона (10) запишем в виде
| (11) |
,
Рис. 1. Пояснение к формуле (7) |
где D* – внешняя часть обтекаемой
области.
Как показал [1], решение задачи о восстановлении векторного поля 
по известным значениям 
и 
приводится к решению уравнения Пуассона (10), которое может быть записано в виде (11) (cм. также [2]). Составляющие вектора скорости 
имеют вид (9)
. (12)
Поэтому граничные условия дают
| (13) |
Условия на бесконечности 
будет удовлетворено, если прибавить к (11) гармоническую функцию
| (14) |
.Окончательно
| (15) |
.Из первого условия (13) следует, что функция тока постоянная на окружности r = 1. Функция тока находится с точностью до постоянного слагаемого, поэтому можно считать, что
| (16) |
.Производная 
на окружности является производной по нормали. Производная от потенциала простого слоя (первое слагаемое (15)) терпит разрыв, тогда как эта производная от потенциала по площади (третье слагаемое) равна интегралу от производной в силу ее непрерывности, поэтому
| (17) |
.Поэтому второе условие (13) приводит к решению линейного интегрального уравнения Фредгольма второго рода [3]
| (18) |
| (19) |
.Уравнение (18) для круга получено в явном виде [2]. На окружности
| (20) |
,где 
– это угол между нормалью и диаметром в точке окружности, поэтому (18) принимает вид
| (21) |
.Ищем решение (21) в виде 
Тогда 
и
| (22) |
,или
| (23) |
.Подставляя (23) в (15) (16) получим линейное интегральное уравнение Фредгольма первого рода для плотности потенциала (8) 
. При численном решении линейных интегральных уравнений, возможно, проще решать систему (16)-(19) по сравнению с решением полученного одного уравнения (23), (16), т. к. в нем необходимо численное вычисление четырехкратных интегралов.
Как только плотность потенциала 
определена, будут найдены и правые части системы
Поле скоростей через 
и div интегралов от 
можно восстановить согласно [1]. Из уравнения Навье-Стокса в векторной форме будет найдено 
. Тогда распределение давления находится с использованием криволинейного интеграла 
, p0 = p(m0) – известная величина. По известным распределениям поля давлений и поля скоростей находится поле напряжений 
и соответствующее сопротивление движению обтекаемого вращающегося тела. Таким образом, основная оставшаяся проблема – это определение распределения 
из решения интегрального уравнения (16).
Библиографический список
1. , , Розе гидромеханика. М.: Физматгиз. Ч. II, 1963. 728 с.
2. , Самарский математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.
3. Положий математической физики. Минск: Высшая школа, 1964. 560 с.
4. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976. 576 с.
