Районное Управление Образованием ФК и МП Конференция – фестиваль творчества школьников
«Наука. Творчество. Развитие»
ЗАЯВКА.
Хуснетдинов Илнар Илдарович
Ученик 10 класса
Информация о представленной работе.
ТЕМА:
«Обратные тригонометрические
функции»
Секция: «Математика»
Руководитель: Айзатуллов Тевкиль Абдулбариевич
МОУ «Татарско-Сугутская СОШ»
Батыревского района Чувашской Республики.
Подтверждение учебного заведения.
Сведения, указанные в заявке, подтверждаю.
Директор МОУ «Тат – Сугутская СОШ» //
Районное Управление Образованием ФК и МП
Конференция – фестиваль творчества школьников
«Наука. Творчество. Развитие.»
ТЕМА:
«Обратные тригонометрические
функции»
Работу выполнила:Хуснетдинов Ильнар Илдарович Руководитель: Айзатуллов Тевкиль Абдулбариевич
МОУ «Татарско-Сугутская СОШ»
Батыревского района Чувашской Республики.
Первомайский ЦО – 2007г.
Теория обратных тригонометрических функций является своеобразным «зеркальным» отражением теории тригонометрических функций.
1.y=arcsinx(арксинус икс).
Определение 1.arcsinx есть угол(дуга) такой, что sin =x и - . Отсюда следует сразу, что
sin(arcsinx)=x x
arcsin(sin )= и область определения D(arcsinx)= и область значений Е(arcsinx)=
2.y=arccosx(арккосинус икс).
Определение 2.arccosx есть угол такой, что и cos =x. Отсюда сразу следует, что
cos(arccosx)=x,
arccos(cos )=
Покажем, что arcsinx+arccosx=
В самом деле, положим arcsinx= ,тогда, sin =x. Но sin =cos( ) и при этом. Следовательно, угол удовлетворяет определению 2,т. е.
=arccosx.
3.y=arctgx(арктангенс икс).
Определение 3. arctgx есть угол такой, что
Отсюда вытекает, что tg(arctgx)=x ;arctg(tg )= , .
Укажем без доказательства свойства арктангенса :
1.(arctgx)=(1+ )
2.Функция y=arctgx монотонно возрастает на R
3.Функция y=arctgx является нечетной.
Множество всех углов, тангенс которых есть х, принято обозначать Arctgx. При этом arctgx называется главным значением и Arctgx=arctgx+n,
4.y=arcctgx(арккотангенс икс)
Определение 4. arcctgx есть угол такой, что и ctg =x. Отсюда вытекает, что ctg(arcctgx)=x, ;arcctg(ctg )= , .
Arcctg(-x)+arcctgx= ;arcctgx+arcctgx= ;(arcctgx)= .
Множество всех углов, котангенс который есть х, принято обозначать через Arcctgx. При этом угол arcctgx называется главным значением и Arcctgx=arcctgx+n, .
Задачи на доказательство.
Покажем доказательство нескольких соотношений между аркфункциями.
1.arccosx=arcsin 1-x при х 0.
Положим arccosx= .Тогда cos =x и с учетом, что х 0, имеем / 2.Отсюда следует, что sin 0 и sin = 1-х. Таким образом, угол удовлетворяет определению 1 arcsinx, т.е. =arcsin 1-х, откуда и следует справедливость равенства.
2.arcctgx –arctgx= при х<0.
Положим arctgx= .Тогда с учетом ,что х<0 имеем, tg =x. Но ctg =x и ctg( )=ctg, причем. Таким образом, угол удовлетворяет определению арккотангенса. Это значит, что =arcctgx .
3.ctg(arcsinx)= при .
Обозначим arcsinx= .Следовательно, нужно найти ctg при условии, что sin =x и.
4.arcctgx-arcctgy=arctg, при х>0 , y>0.
Положим =arcctgx, =arcctgy. Тогда в силу того, что х>0,y>0, имеем 0< , , ctg =x , ctg =y. Тогда tg( )=(y-x):(1+xy).
Уравнения с аркфункциями.
При решении уравнений с аркфункциями от обеих частей равенства (х)= (х) придется брать некоторую тригонометрическую функцию. Для того, чтобы получить после этого уравнение с тем же множеством решений, что и исходное. удобно брать в качестве функцию ,монотонную на пересечении областей значений функции (х) и (х).
Неравенства с аркфункциями.
Простейшими неравенствами с аркфункциями являются следующие соотношения :
arcsinx, arcsinx> ,
arcsinx ,arcsinx< ,
и такие неравенства, левая часть в которых заменена на arccosx, arctgx, arcctgx. Все они решаются единообразно. Поэтому ограничимся рассмотрением неравенств.
РЕКОМЕНДАЦИЯ. Для закрепления выше изложенного полезно, чтобы учащиеся самостоятельно решили все простейшие неравенства с аркфункциями.
Обратимся теперь к более сложным неравенствам с аркфунциями. Здесь придется часто брать от обеих частей неравенства операцию ctg или sin ,или cos, или tg. Чтобы при этом получить эквивалентное неравенство, нужно, чтобы эти основные тригонометрические функции были монотонными на множестве значений обеих частей исходного неравенства. Если это множество значений не укладывается в один и тот же промежуток монотонности основной тригонометрической функции, то неравенство следует тождественно преобразовать или выделить промежутки монотонности и решать неравенство отдельно на каждом таком промежутке.
Графики функций.
Опираясь на графики и тождества ,связывающие аркфункции, построим графики некоторых функций, в аналитическую запись которых входят символы arcsin, arccos, arctg, arcctg. Разберем несколько примеров.
