Урок алгебры в 7 классе
Тема: «Умножение разности двух выражений на их сумму»
Цели: а) обучающие: ознакомить с формулой для разности квадратов и её применением;
б) развивающие:
1) закрепление правила умножения многочлена на многочлен;
2) совершенствование навыков самостоятельной работы;
3) совершенствование вычислительных навыков;
в) воспитывающие: внимание, память, наблюдательность, аккуратность, скорость действий, трудолюбие.
Учитель математики МОУ «СОШ №6» г. Выборга:
Ход урока
1.Организационный момент.
Сформулировать тему урока, сообщить цели урока.
2.Повторение и закрепление пройденного материала.
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).
Вариант 1
1) Преобразуйте трехчлен в квадрат двучлена:
а) х4 – 8х2 + 16; б) а4 + 6а2b + 9b2.
2) Докажите неравенство: 9х2 + 4у2 > 12ху – 1.
Вариант 2
1) Преобразуйте трехчлен в квадрат двучлена:
а) у6 + 6у3 +9; б) а4 – 8a2b + 16b2.
2) Докажите неравенство: 9у2 + 16х2 > 24ху -2.
3. Изучение нового материала.
Приведем ещё одну формулу сокращенного умножения
( a – b ) ( a + b ) = a2 – b2 , (1)
которая позволяет быстро умножать разность и сумму одних и тех же чисел
а и b.
Выведем эту формулу.
а) Алгебраический способ.
Умножим разность чисел a – b на их сумму a + b. Получаем:
(a - b)(a + b) = a2 + ab – ba - b2 = a2 - b2
б) Геометрический способ.
Рассмотрим фигуру, изображенную на рисунке.
|
|
|
|
|
K F
Стороны прямоугольника ABCD равны AB = a + b и AD = a - b (для определенности считаем, что a, b > 0 и a > b) и его площадь
S = AD × AB = (a – b)(a+b). Этот прямоугольник состоит из прямоуголь-
ников AEND и EBCN.
Прямоугольник EBCN равен прямоугольнику KLNF. Поэтому площадь S равна площади фигуры AENFKLD, которая равна разности площадей квадратов AEFG (со стороной а) и DLKG (со стороной b), т. е. S = a2 – b2.
Приравняв два выражения для площади S, получаем равенство
(a – b)(a + b) = a2 – b2.
В соответствии с тождеством (1) произведение разности чисел (выражений) на их сумму равно разности квадратов этих чисел (выражений). Тождество (1) широко используется при алгебраических преобразованиях выражений.
Пример 1
Умножим числа 47 и 53, записав их в виде разности и суммы двух чисел:
47 = 50 – 3 и 53 = 50 + 3. Тогда получаем, используя формулу (1):
47 × 53 = (50 – 3) (50 + 3) = 502 – 32 = 2500 – 9 = 2491.
Пример 2
Умножим выражения 4a – 5b и 4a + 5b.
Используя формулу (1) и правила действий со степенями, получим:
(4a – 5b) (4a + 5b) = (4a)2 – (5b)2 = 16a2 – 25b2.
Пример 3
Представим в виде многочлена выражения (3a3 – 2b2)(3a3 + 2b2).
Применим тождество (1) и получим:
(3a3 – 2b2)(3a3 + 2b2) = (3a3)2 – (2b2)2 = 9a6 – 4b4.
Пример 4
Умножим выражения -6a – 5b и 6a – 5b.
В первом выражении -6a – 5b вынесем за скобки число (-1) и получим:
(-6a – 5b)(6a - 5b) = (-1) (6a+5b)(6a – 5b) =-((6a)2 – (5b)2) = -(36a2 – 25b2) = =25b2 – 36a2.
Заметим, что преобразование можно выполнить и сразу:
(-6a – 5b)(6a-5b) = (-5b -6a)(-5b +6a) = (-5b)2 – (6a)2 = 25b2 – 36a2.
Пример 5
Упростим выражение (6a – 7b)(6a + 7b) – (3a +4b)(12a – 17b) – 3ab.
Раскроем скобки, причем для первого произведения используем тождество
(1). Получаем: (6a -7b)(6a + 7b) – (3a + 4b)(12a – 17b) – 3ab = (6a)2 – (7b)2 –
– (36a2 – 51ab + 48ab – 68b2) – 3ab = 36a2 – 49b2 – (36a2 – 3ab – 68b2) – 3ab =
= 36a2 – 49b2 – 36a2 + 3ab + 68b2 – 3ab = 19b2.
3. Задание на уроке.
№ 000 (в, к); 915 (в, д); 917 (в); 918(б, д); 922(б); 923(в); 925(в); 926(а).
4. Задание на дом.
№ 000(а, в,д); 917(г); 919(а, б); 923(д); 925(а); 926(д).
5. Творческие задания.
1.Выполните действия:
а) 97×103; б) 95×97×103×105; в) (a–b)(a+b)(a2 + b2)(a4+b4);
2.Сравните числа:
а) 43×47 и 452; б) 81×87 и 842;
6. Подведение итогов урока.
Литература
1. Алгебра-7. , , .
2. «За страницами учебника математики» И. Я Депман, .
3. Дидактические материалы к урокам алгебры. Асташкина О. А. (Серия «Школа радости»)
4. Дидактические материалы по алгебре – 7 класс; Москва «Издат-Школа»
«РАЙЛ» 1998.
