Классификация точек разрыва

§ 2. Классификация точек разрыва

При решении задач используются следующие определения.

Точка x=a называется точкой устранимого разрыва функции y=f(x), если выполняется одно из условий: 1) a не принадлежит области определения данной функции, но существует конечный ; 2) a принадлежит области определения данной функции, существует конечный , но .

Точка x=a называется точкой разрыва первого рода функции y=f(x), если не существует, но существуют конечные, различные между собой односторонние пределы и

Точка x=a называется точкой разрыва второго рода функции y=f(x), если хотя бы один из односторонних пределов , равен бесконечности или не существует.

При определении характера разрыва в точке x=a необходимо сначала найти . Если этот предел существует, то x=a окажется (в зависимости от значения предела) либо точкой устранимого разрыва, либо точкой разрыва второго рода. Если не существует, то находят односторонние пределы – в зависимости от них x=a будет точкой разрыва первого или второго рода.

Пример 2.1. Найти и классифицировать точки разрыва функции .

Решение. 1) Выражения, стоящие в числителе и знаменателе, непрерывны при всех вещественных x. Однако знаменатель обращается в нуль при x=0 и x=-1, т. е. эти точки не принадлежат области определения и являются точками разрыва. Исследуем каждую из них.

2) Рассмотрим x=0. Так как , а рассматриваемая точка не принадлежит области определения, заключаем, что x=0 – точка устранимого разрыва.

3) Пусть теперь x=-1. Так как при , а , то заключаем, что . Следовательно, x=-1 – точка разрыва второго рода.